Ángulo entre dos rectas del plano (1ºBach)

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(Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes)
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==Ángulo entre dos rectas== ==Ángulo entre dos rectas==
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==Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección== ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección==
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-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con vectores de dirección {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} y {{sube|porcentaje=+40%|contenido=<math>\overrightarrow{d'}</math>}}, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center> <center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}</math></center>
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-{{p}}+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ángulo entre dos rectas''|enunciado=Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ángulo entre dos rectas''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla el ángulo que forman dos rectas dadas en ecuaciones paramétricas y utiliza la escena para comprobar los resultados.+
-{{p}}+
-|actividad=Vamos a hallar el ángulo que forman las rectas:+
-:<math>+<center><math>
r_1: \, \begin{cases} r_1: \, \begin{cases}
x=-3+ 4t x=-3+ 4t
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\end{cases} \end{cases}
\qquad \qquad
-r_2: \ ,\begin{cases}+r_2: \, \begin{cases}
x=-3+ 5t x=-3+ 5t
\\ \\
y=4+ t y=4+ t
\end{cases}</math> \end{cases}</math>
- +</center>
 +|sol=
Sus vectores de dirección son: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_1}(4,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_2}(5,1)</math>}}, de manera que: Sus vectores de dirección son: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_1}(4,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d_2}(5,1)</math>}}, de manera que:
<center><math>cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ</math></center> <center><math>cos \, \alpha=\cfrac{| \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2}|}{|\overrightarrow{d_1}| \, |\overrightarrow{d_2}|}=\cfrac{19}{\sqrt{17} \, \sqrt{26}}=0.9 \rightarrow \alpha=25.34^\circ</math></center>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ángulo entre dos rectas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
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 +|url1=https://youtu.be/040aVzsO5N0?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 +|sinopsis=Cálculo del ángulo entre dos rectas. Ejemplos.
-<center><iframe>+'''Nota:''' En este tutorial se usa la fórmula sin valor absoluto, con lo cual en unos casos sale el ángulo mayor y en otros el menor.
-url=http://{{{dominio}}}/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_3.html+}}
-width=490+{{Video_enlace_pildoras
-height=410+|titulo1=Ejercicio
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-</iframe></center>+|url1=https://youtu.be/8VDYIxWr_mA?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+|sinopsis=Cálculo de los ángulos de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
 +}}
 +}}
-'''Ejercicio:'''+==Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita==
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Sean <math>r:\, Ax+By+C=0</math> y <math>r': \, A'x+B'y+C'=0</math> dos rectas, y sea <math>\alpha \,</math> el ángulo que forman. Se verifica que
-Halla el ángulo que forman las rectas siguientes y comprueba los resultados en la escena anterior:+<center><math>cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}</math></center>
-:<math>+:donde <math>n(A,B)\,</math> y <math>n'(A',B')\,</math> son los vectores normales de las rectas.
-r_1: \, \begin{cases}+|demo=Cómo el vector normal a una recta es perpendicular al vector de dirección de la misma, hallar el ángulo entre las dos rectas equivale a hallar el ángulo entre los vectores normales o entre los vectores de dirección. Por tanto aplicaremos la misma fórmula que para hallar el ángulo a partir de los vectores de dirección, sustituyendo éstos por los vectores normales.
-x=-3+ t+
-\\+
-y=4- 5t+
-\end{cases}+
-\qquad +
-r_2: \ ,\begin{cases}+
-x=-3+ 5t+
-\\+
-y=4+ t+
-\end{cases}</math>+
}} }}
-}} 
-{{p}} 
==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes== ==Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes==
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dadas dos rectas con pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}}. Se verifica que
<center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center> <center><math>tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
 +
|demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1= |demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:ang2rectas.png]]|celda1=
Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos: Teniendo en cuenta que <math>m=tg \, \alpha</math> y <math>m'=tg \, \beta</math>, usando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, tenemos:
-:<math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \Big| \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} \Big|= \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math>+<center><math>tg \, \phi=tg \, (\alpha - \beta)= \cfrac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1+tg \, \alpha \, tg \, \beta} = \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} </math></center>
 +Para conseguir que el ángulo sea el menor, tomamos valores absolutos en la expresión anterior:
 +
 +<center><math>tg \, \phi=\Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|</math></center>
 +
 +{{p}}
 +----
 +También puedes ver la demostración en el siguiente video:
 +
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Demostración
 +|duracion=5´40"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5eKwXVpQgmU&index=10&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
 +|sinopsis=Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.
 +}}
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_velazco
 +|titulo1=Ejemplo
 +|duracion=8´41"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PiVwCSU9VyE&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n&index=9
 +|sinopsis=Halla el ángulo entre las rectas <math>r_1: -x+y=2\;</math> {{b}} y {{b}} <math>r_2: -5x-4y=13\;</math>.
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás calcular el ángulo entre dos rectas.
 +|enlace=[https://ggbm.at/aN4z3FsT Ángulo entre dos rectas]
}} }}
{{p}} {{p}}
 +==Ejercicios y videotutoriales==
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ángulo entre dos rectas|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MFb6D-EZyGo&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=10
 +|sinopsis=
 +*Ángulo entre dos rectas.
 +*Paralelismo y perpendicularidad.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 1
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 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=OVWQ_6Lt4NA&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=11
 +|sinopsis=Ángulo entre dos rectas
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=7´07"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=asksI6mMNKY&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=12
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 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
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 +|duracion=6´18"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jI_UhPEnXMI&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=13
 +|sinopsis=Ángulo entre dos rectas
 +}}
 +}}
 +
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones trigonométricas''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 202)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,b,c
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1d
 +}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 202)

Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas del plano es el menor de los dos ángulos que forman éstas entre sí.

Ángulo entre dos rectas a partir de sus vectores de dirección

ejercicio

Proposición


Dadas dos rectas con vectores de dirección \overrightarrow{d} y \overrightarrow{d'}, y sea \alpha \, el ángulo que forman. Se verifica que

cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{d'}|}{|\overrightarrow{d}||\overrightarrow{d'}|}
Imagen:angrectas.png

ejercicio

Ejemplo: Ángulo entre dos rectas


Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:

r_1: \, \begin{cases} x=-3+ 4t \\ y=4- t \end{cases} \qquad  r_2: \, \begin{cases} x=-3+ 5t \\ y=4+ t \end{cases}

Ángulo entre dos rectas dadas en forma implícita

ejercicio

Proposición


Sean r:\, Ax+By+C=0 y r': \, A'x+B'y+C'=0 dos rectas, y sea \alpha \, el ángulo que forman. Se verifica que

cos \, \alpha = \cfrac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{n'}|}
donde n(A,B)\, y n'(A',B')\, son los vectores normales de las rectas.

Ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes

ejercicio

Proposición


Dadas dos rectas con pendientes m\, y m'\,. Se verifica que

tg \, \phi = \Big| \cfrac{m'-m}{1+m \,m'} \Big|

Ejercicios y videotutoriales

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas


(Pág. 202)

1a,b,c

1d

Herramientas personales
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