Algunos límites importantes (1ºBach)

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==Suma de los términos de una progresión geométrica== ==Suma de los términos de una progresión geométrica==
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<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
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-:'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math> 
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Revisión de 21:11 9 sep 2016

Tabla de contenidos

(Pág. 64)

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se define como el límite de una sucesión:
lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e


Dada la sucesión:
a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}
se cumple que:
lim \, a_n= e \;
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

(Pág. 65)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi

Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos
  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.
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