Algunos límites importantes (1ºBach)
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| + | ==El número ''e''== | ||
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| + | <center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]] El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center> | ||
| + | |celda1= | ||
| + | {{Teorema|titulo=''La sucesión del número e'' | ||
| + | |enunciado= | ||
| + | El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión: | ||
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| + | <center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center> | ||
| + | |demo= | ||
| + | La demostración excede el nivel de este curso. [http://www.dm.uba.ar/materias/analisis_1_M/2004/2/e.pdf Ver demostración]. | ||
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| + | {{p}} | ||
| + | {{Teorema|titulo=''Otra sucesión del número e'' | ||
| + | |enunciado= | ||
| + | Dada la sucesión: | ||
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| + | <center><math>a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}</math></center> | ||
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| + | se cumple que: | ||
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| + | <center><math>lim \, a_n= e \;</math></center> | ||
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| + | Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso. | ||
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| + | Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente". | ||
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| + | En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo: | ||
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| + | * Es creciente: | ||
| + | :Si, puesto que cada término se obtiene sumando al anterior un número positivo: | ||
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| + | <center><math>a_{n+1}=a_n+\cfrac{1}{(n+1)!}</math></center> | ||
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| + | * Está acotada superiormente por 3: | ||
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| + | :En efecto, como | ||
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| + | <center><math>\cfrac{1}{3!}<\cfrac{1}{4}, \ \cfrac{1}{4!}<\cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{5!}<\cfrac{1}{16}, ...</math></center> | ||
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| + | :tenemos que | ||
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| + | <center><math>a_n < 1 + 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{16}+ ...=1+ \left( \cfrac{1}{1-\frac{1}{2}} \right)=1+2=3</math></center> | ||
| + | |||
| + | :donde hemos hecho uso de la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2. | ||
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| + | |sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabajan los límites que generan al número e. Mediante una primera explicación algo teórica y muchos ejemplos, se da a conocer este tipo de límites y los pasos a seguir para su cálculo, evitando la indeterminación de 1 elevado a infinito | ||
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| + | {{Videotutoriales|titulo=El número e|enunciado= | ||
| + | {{Video: Que es el numero e}} | ||
| + | {{Video: Un numero llamado e}} | ||
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| + | (Pág. 65) | ||
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| + | ==El número áureo, <math>\phi \;</math>== | ||
| + | {{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}} | ||
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| + | |titulo2=Acceso por red TIC | ||
| + | |url2=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/107/html/index.htm | ||
| + | |sinopsis=El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia. | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Web_enlace | ||
| + | |titulo=Phi, el número de oro | ||
| + | |descripcion=A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz. | ||
| + | |enlace=[http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/secundaria/matematicas/phi/index.htm Phi, el número de oro] | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | {{p}} | ||
| + | |||
| ==Suma de los términos de una progresión geométrica== | ==Suma de los términos de una progresión geométrica== | ||
| + | {{p}} | ||
| {{Teorema | {{Teorema | ||
| |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica | ||
| - | |enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos | + | |enunciado=Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos |
| - | ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: | + | :* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es: |
| - | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> |
| - | ::*Si <math>r>1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: | + | :*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>: |
| + | |||
| + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | ||
| + | |||
| + | :*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ||
| - | <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | ||
| - | ::*Si <math>r<-1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. | ||
| |demo= | |demo= | ||
| * Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces | * Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces | ||
| - | <center><math>lim \ r^n = 0 \;</math> y también <math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center> | + | <center><math>lim \ r^n = 0 \;</math>{{b4}}y{{b4}}<math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center> |
| (Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.) | (Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.) | ||
| Línea 28: | Línea 125: | ||
| y por tanto | y por tanto | ||
| - | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> |
| *Si <math>r>1\;</math>, entonces | *Si <math>r>1\;</math>, entonces | ||
| Línea 38: | Línea 135: | ||
| y por tanto | y por tanto | ||
| - | <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> | + | <center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> |
| - | }} | + | *Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite. |
| - | ==El número ''e''== | + | *Si <math>r=-1\;</math>, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría: |
| - | ==El número áureo, <math>\phi \;</math>== | + | |
| - | {{Teorema|titulo=''La sucesión de Fibonacci y el número áureo'' | + | |
| - | |enunciado= | + | |
| - | Si a partir de la '''sucesión de [[Fibonacci]]''' (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión <math>b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</math>, se cumple que: | + | |
| - | <center><math>lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots</math> ('''número áureo''')</center> | + | <center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center> |
| - | |demo= | + | |
| - | Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación: | + | |
| - | En efecto, si en la sucesión de Fibonacci | + | y la sucesión <math>S_n \;</math> sería: |
| - | <center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center> | + | <center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center> |
| - | dividimos cada término entre el anterior, tenemos: | + | que oscila y no tiene límite. |
| - | <center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> | + | *Si <math>r=1\;</math>, la progresión quedaría constante: |
| - | que expresada con decimales nos da: | + | <center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center> |
| + | |||
| + | y tendríamos que <math>S_n = n \cdot a_1 \;</math>, cuyo límite es: | ||
| + | |||
| + | <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> | ||
| - | <center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{Video | + | |
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| - | |sinopsis=Documental sobre la historia del número áureo, Phi <math>(\phi)\;</math> y la divina proporción. | + | {{wolfram desplegable|titulo=Algunos límites importantes|contenido= |
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| - | <center>[http://maralboran.org/web_ma/videos/ladivinaproporcion/ladivinaproporcion.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | :a) Calcula sus 10 primeros términos. |
| - | <center>[http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/92/html/index.htm '''Click''' aquí para enlace desde servidor TIC]</center> | + | |
| + | :b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>. | ||
| + | |||
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| + | :a) Calcula sus 10 primeros términos. | ||
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| - | |titulo=Phi, el número de oro | + | ==Ejercicios propuestos== |
| - | |descripcion=A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz. | + | {{ejercicio |
| - | |enlace=[http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/secundaria/matematicas/phi/index.htm Phi, el número de oro] | + | |titulo=Ejercicios propuestos: ''Algunos límites importantes'' |
| + | |cuerpo= | ||
| + | (Pág. 65) | ||
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| + | [[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2, 3 | ||
| }} | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] | ||
Revisión actual
| Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
| Indice Descartes Manual Casio | Número e Número áureo | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
(Pág. 64)
El número e
 La sucesión del número e El número  Demostración: La demostración excede el nivel de este curso. Ver demostración. Otra sucesión del número e Dada la sucesión:  se cumple que:  Demostración: Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente". En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:
|  |
, se define como el límite de una sucesión:
Límites del número e (34´22") Sinopsis:Tutorial en el que se explica y trabajan los límites que generan al número e. Mediante una primera explicación algo teórica y muchos ejemplos, se da a conocer este tipo de límites y los pasos a seguir para su cálculo, evitando la indeterminación de 1 elevado a infinito
¿Qué es el número e? (4'12") Sinopsis:¿Qué tiene el número Pi que no tenga e?
Te explicamos uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes, base de los logaritmos neperianos.
Un número llamado e (13') Sinopsis:Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.
(Pág. 65)
El número áureo, 
La sucesión de Fibonacci y el número áureo
Si a partir de la sucesión de Fibonacci
= 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,construimos, por recurrencia, la sucesión
Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:
Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci
dividimos cada término entre el anterior, tenemos:
que expresada con decimales nos da:
Demostración:
Por construcción de la sucesión de Fibonacci:
Dividiendo ambos miembros por :
Tomando límites en ambos miembros:
Llamando 
, tenemos:
ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:
La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:Documental sobre el número aureo.
El número aureo (18´) Sinopsis:El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.
Phi, el número de oro Descripción: A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.
Suma de los términos de una progresión geométrica
Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
Sea 
una progresión geométrica de razón 
y sea 
la suma de sus n primeros términos
- Si
, entonces el límite de 
existe y su valor es:
- Si
- Si
, entonces el límite de es 
o 
:
- Si
- Si
, entonces el límite de no existe.
- Si
- Si , entonces
y 
.(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
y por tanto
- Si
, entonces
y 
(Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a 
. Mientras que si a1 = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a )
y por tanto
- Si
, entonces 
va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión también va a oscilar en signo y no tiene límite.
- Si
, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
y la sucesión sería:
que oscila y no tiene límite.
- Si
, la progresión quedaría constante:
, .y tendríamos que 
, cuyo límite es:
Actividades
Actividad: Algunos límites importantes 1. Dada la sucesión de Fibonacci
2. Dada la sucesión
3. Calcula Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 1.
2.
|
.
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes (Pág. 65)
|
