Algunos límites importantes (1ºBach)

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-|repasar=+|repasar=[http://es.wikipedia.org/wiki/Número_e Número e]<br>[http://es.wikipedia.org/wiki/Número_áureo Número áureo]
|enlaces= |enlaces=
}} }}
{{p}} {{p}}
__TOC__ __TOC__
 +(Pág. 64)
 +==El número ''e''==
 +{{Tabla75
 +|celda2=
 +<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]] El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>
 +|celda1=
 +{{Teorema|titulo=''La sucesión del número e''
 +|enunciado=
 +El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión:
 +
 +<center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center>
 +|demo=
 +La demostración excede el nivel de este curso. [http://www.dm.uba.ar/materias/analisis_1_M/2004/2/e.pdf Ver demostración].
 +}}
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=''Otra sucesión del número e''
 +|enunciado=
 +Dada la sucesión:
 +
 +<center><math>a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}</math></center>
 +
 +se cumple que:
 +
 +<center><math>lim \, a_n= e \;</math></center>
 +|demo=
 +Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso.
 +
 +Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".
 +
 +En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:
 +
 +* Es creciente:
 +:Si, puesto que cada término se obtiene sumando al anterior un número positivo:
 +
 +<center><math>a_{n+1}=a_n+\cfrac{1}{(n+1)!}</math></center>
 +
 +* Está acotada superiormente por 3:
 +
 +:En efecto, como
 +
 +<center><math>\cfrac{1}{3!}<\cfrac{1}{4}, \ \cfrac{1}{4!}<\cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{5!}<\cfrac{1}{16}, ...</math></center>
 +
 +:tenemos que
 +
 +<center><math>a_n < 1 + 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{16}+ ...=1+ \left( \cfrac{1}{1-\frac{1}{2}} \right)=1+2=3</math></center>
 +
 +:donde hemos hecho uso de la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2.
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Límites del número e
 +|duracion=34´22"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TKkSMKfUBA0&index=8&list=PLZNmE9BEzVIkITepuGQcKXJ-FuD5p7cP5
 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabajan los límites que generan al número e. Mediante una primera explicación algo teórica y muchos ejemplos, se da a conocer este tipo de límites y los pasos a seguir para su cálculo, evitando la indeterminación de 1 elevado a infinito
 +}}
 +{{Videotutoriales|titulo=El número e|enunciado=
 +{{Video: Que es el numero e}}
 +{{Video: Un numero llamado e}}
 +}}
 +(Pág. 65)
 +
 +==El número áureo, <math>\phi \;</math>==
 +{{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace
 +|titulo1=La divina proporción: el número phi
 +|duracion=6'
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc
 +|url3=http://maralboran.org/web_ma/videos/ladivinaproporcion/ladivinaproporcion.htm
 +|titulo2=Acceso por red TIC
 +|url2=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/92/html/index.htm
 +|sinopsis=Documental sobre el número aureo.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace
 +|titulo1=El número aureo
 +|duracion=18´
 +|url1=http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-aureo/1290977/
 +|url3=http://maralboran.org/web_ma/videos/elnumeroaureo/elnumeroaureo.htm
 +|titulo2=Acceso por red TIC
 +|url2=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/107/html/index.htm
 +|sinopsis=El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Web_enlace
 +|titulo=Phi, el número de oro
 +|descripcion=A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.
 +|enlace=[http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/secundaria/matematicas/phi/index.htm Phi, el número de oro]
 +}}
 +
 +{{p}}
 +
==Suma de los términos de una progresión geométrica== ==Suma de los términos de una progresión geométrica==
 +{{p}}
{{Teorema {{Teorema
|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
-|enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos+|enunciado=Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos
-::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:+:* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:
<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center> <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center>
-::*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:+:*Si <math>r\ge 1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:
<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> <center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
-::*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.+:*Si <math>r\le -1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.
Línea 25: Línea 119:
* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces * Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces
-<center><math>lim \ r^n = 0 \;</math> y también <math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center>+<center><math>lim \ r^n = 0 \;</math>{{b4}}y{{b4}}<math>lim \ a_1 r^n = 0</math>.</center>
(Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.) (Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)
Línea 59: Línea 153:
<center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center> <center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center>
-y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es: +y tendríamos que <math>S_n = n \cdot a_1 \;</math>, cuyo límite es:
-<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>+<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ n \cdot a_1 = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
}} }}
 +{{p}}
-==El número ''e''==+==Actividades==
-{{Tabla75+{{wolfram desplegable|titulo=Algunos límites importantes|contenido=
-|celda2=+{{wolfram
-<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]]: El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>+|titulo=Actividad: ''Algunos límites importantes''
-|celda1=+|cuerpo=
-{{Teorema|titulo=''La sucesión del número e''+{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado= +|enunciado=
-El número <math>e\;</math>, se obtiene como el límite de una sucesión:+
-<center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center>+'''1.''' Dada la sucesión de Fibonacci <math>F_n \;</math>
-|demo=+
-Es inmediato hacer una comprobación dando valores a n, cada vez más grandes. Así obtendríamos:+
-<center><math>a_1=2,\ a_2=2.25,\ a_3=2.3703,\ \cdots \ a_{100}=2.7048,\ \cdots \ a_{1000000}=2,7182</math></center>+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
-{{p}}+
-que se aproxima al valor del número <math>e\;</math> +
-}}+
-{{p}}+
-{{Video+
-|titulo=Un número llamado e+
-|duracion=13´+
-|sinopsis=Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.+
-|video=+
-<center><iframe>+
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/videos/elnumeroe/elnumeroe.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-}}+
-}}+
-==El número áureo, <math>\phi \;</math>==+:b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>.
-{{Teorema|titulo=''La sucesión de Fibonacci y el número áureo''+
-|enunciado= +
-Si a partir de la '''sucesión de [[Fibonacci]]''', <math>a_n\;</math> = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,..., construimos, por recurrencia, la sucesión <math>b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</math>, se cumple que:+
-<center><math>lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots</math> ('''número áureo''')</center>+:c) Calcula <math>lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>
-|demo=+{{p}}
-Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:+'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
-En efecto, si en la sucesión de Fibonacci+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center>+:b) Calcula <math>lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
-dividimos cada término entre el anterior, tenemos:+'''3.''' Calcula <math>lim \ \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n</math>
-<center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +1.
 +:a) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]}}
 +:b) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n],{n,1.,10.}]}}
 +:c) {{consulta|texto= limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo}}
-que expresada con decimales nos da:+2.
 +:a) {{consulta|texto=Table[(1+1/n)^n,{n,1.,10.}]}}
 +:b) {{consulta|texto= limit (1+1/n)^n as n->+oo}}
-<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> + 
 +3.
 +: {{consulta|texto= limit (1-1/n)^n as n->+oo}}
 +{{widget generico}}
 +}}
}} }}
-{{p}} 
-{{Video 
-|titulo=La divina proporción. El número Phi. 
-|sinopsis=Documental sobre la historia del número áureo, Phi <math>(\phi)\;</math> y la divina proporción. 
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-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/videos/ladivinaproporcion/ladivinaproporcion.html 
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-height=650 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/videos/ladivinaproporcion/ladivinaproporcion.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-<center>[http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/92/html/index.htm '''Click''' aquí para enlace desde servidor TIC]</center> 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Web+ 
-|titulo=Phi, el número de oro+==Ejercicios propuestos==
-|descripcion=A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.+{{ejercicio
-|enlace=[http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/secundaria/matematicas/phi/index.htm Phi, el número de oro]+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Algunos límites importantes''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 65)
 + 
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2, 3
}} }}
 +{{p}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 64)

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se define como el límite de una sucesión:

lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e


Dada la sucesión:

a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}

se cumple que:

lim \, a_n= e \;
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

(Pág. 65)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

Actividades

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes


(Pág. 65)

2, 3

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda