Algunos límites importantes (1ºBach)

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==El número ''e''== ==El número ''e''==
{{Tabla75 {{Tabla75
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-<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]]: El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>+<center>[[Imagen:Eukler1.jpg|thumb|[[Euler|Leonard Euler]] El número '''e''', base de los [[Logaritmos (1ºBach)|logaritmos]] neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)]]</center>
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{{Teorema|titulo=''La sucesión del número e'' {{Teorema|titulo=''La sucesión del número e''
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-:El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión:+El número <math>e\;</math>, se define como el límite de una sucesión:
<center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center> <center><math>lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...</math></center>
Línea 23: Línea 24:
{{Teorema|titulo=''Otra sucesión del número e'' {{Teorema|titulo=''Otra sucesión del número e''
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-:Dada la sucesión:+Dada la sucesión:
<center><math>a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}</math></center> <center><math>a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}</math></center>
-:se cumple que:+se cumple que:
<center><math>lim \, a_n= e \;</math></center> <center><math>lim \, a_n= e \;</math></center>
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Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso. Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso.
-Para la demostración usaremos un teorema que dice que "toda sucesión monótona y acotada tiene límite".+Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".
En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo: En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:
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}} }}
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-{{Video_enlace+{{Video_enlace_clasematicas
-|titulo1=Un número llamado e+|titulo1=Límites del número e
-|duracion=13'+|duracion=34´22"
-|url1=http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-llamado/1296636/+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TKkSMKfUBA0&index=8&list=PLZNmE9BEzVIkITepuGQcKXJ-FuD5p7cP5
-|titulo2=Acceso por red TIC+|sinopsis=Tutorial en el que se explica y trabajan los límites que generan al número e. Mediante una primera explicación algo teórica y muchos ejemplos, se da a conocer este tipo de límites y los pasos a seguir para su cálculo, evitando la indeterminación de 1 elevado a infinito
-|url2=http://c0/helvia/aula/archivos/repositorio//0/90/html/index.htm+
-|titulo3=acceso por maralboran.org+
-|url3=http://maralboran.org/web_ma/videos/elnumeroe/elnumeroe.htm+
-|sinopsis=Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.+
}} }}
 +{{Videotutoriales|titulo=El número e|enunciado=
 +{{Video: Que es el numero e}}
 +{{Video: Un numero llamado e}}
 +}}
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==El número áureo, <math>\phi \;</math>== ==El número áureo, <math>\phi \;</math>==
-{{Tabla75|celda2=+{{La sucesión de Fibonacci y el número áureo}}
-[[Imagen:fibonacci.jpg|thumb|[[Fibonacci|Leonardo de Pisa (Fibonacci)]]]]+{{p}}
-|celda1=+
-{{Teorema|titulo=''La sucesión de Fibonacci y el número áureo''+
-|enunciado= +
-Si a partir de la '''sucesión de [[Fibonacci]]'''+
- +
-<center><math>F_n\;</math> = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,</center>+
- +
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-se cumple que:+
- +
-<center><math>lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618...</math> ('''número áureo''')</center>+
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-'''Comprobación:'''+
-Si en la sucesión de Fibonacci+
- +
-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots</math></center>+
- +
-dividimos cada término entre el anterior, tenemos:+
- +
-<center><math>\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots</math></center> +
- +
-que expresada con decimales nos da:+
- +
-<center><math>1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi</math></center> +
----------------+
-'''Demostración:'''+
- +
-Por construcción de la sucesión de Fibonacci:+
- +
-<center><math>F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;</math></center>+
- +
-Dividiendo ambos miembros por <math>F_n \;</math>:+
- +
-<center><math>\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+
- +
-Tomando límites en ambos miembros:+
- +
-<center><math>lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}} </math></center>+
- +
-Llamando <math>L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}} </math>, tenemos:+
- +
-<center><math>L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0 </math></center>+
- +
-ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:+
- +
-<center><math>L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi </math></center>+
- +
-con lo que queda demostrado.+
- +
-}}+
-}}+
{{Video_enlace {{Video_enlace
|titulo1=La divina proporción: el número phi |titulo1=La divina proporción: el número phi
Línea 151: Línea 99:
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 +
==Suma de los términos de una progresión geométrica== ==Suma de los términos de una progresión geométrica==
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{{Teorema {{Teorema
|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
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Línea 210: Línea 159:
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-==Ejercicios==+ 
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|titulo=Actividad: ''Algunos límites importantes'' |titulo=Actividad: ''Algunos límites importantes''
Línea 217: Línea 168:
|enunciado= |enunciado=
-:'''1.''' Dada la sucesión de Fibonacci <math>F_n \;</math>+'''1.''' Dada la sucesión de Fibonacci <math>F_n \;</math>
-::a) Calcula sus 10 primeros términos.+ 
-::b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>.+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
-::c) Calcula <math>lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>+ 
 +:b) Calcula los 10 primeros términos de <math>\frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>.
 + 
 +:c) Calcula <math>lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}</math>
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-:'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>+'''2.''' Dada la sucesión <math>\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
-::a) Calcula sus 10 primeros términos.+ 
-::b) Calcula <math>lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>+:a) Calcula sus 10 primeros términos.
 + 
 +:b) Calcula <math>lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n</math>
 + 
 +'''3.''' Calcula <math>lim \ \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^n</math>
 + 
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|sol= |sol=
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:1.+1.
-::a) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]}}+:a) {{consulta|texto=Table[Fibonacci[n],{n,1,10}]}}
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-::c) {{consulta|texto= limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo}}+:c) {{consulta|texto= limit Fibonacci[n+1]/Fibonacci[n] as n->+oo}}
-:2.+2.
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-::b) {{consulta|texto= limit (1+1/n)^n as n->+oo}}+:b) {{consulta|texto= limit (1+1/n)^n as n->+oo}}
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 + 
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- 
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Algunos límites importantes''
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 +(Pág. 65)
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2, 3
 +}}
 +{{p}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 64)

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se define como el límite de una sucesión:

lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e


Dada la sucesión:

a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}

se cumple que:

lim \, a_n= e \;
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

(Pág. 65)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

Actividades

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes


(Pág. 65)

2, 3

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda