Algunos límites importantes (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 18:04 12 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Suma de los términos de una progresión geométrica)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 18:17 12 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Suma de los términos de una progresión geométrica)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 10: Línea 10:
|titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica |titulo= Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica
|enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos |enunciado= Sea <math>a_n\;</math> una progresión geométrica de razón <math>r\;</math> y sea <math>S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}</math> la suma de sus n primeros términos
-::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y vale:+::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:
<center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center> <center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
Línea 20: Línea 20:
::*Si <math>r<-1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe. ::*Si <math>r<-1\;</math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.
|demo= |demo=
 +* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces <math>lim \ r^n \; = 0</math> y también <math>lim \a_1 \cdot r^n = 0</math>.
 +Por ejemplo, si <math>a_1=3</math> y <math>r=0.5</math>, al multiplicar sucesivas veces <math>3 \cdot 0.5</math>, el resultado se aproxima cada vez más a cero. Entonces
 +
 +</center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
 +
 +*Si <math>r>1\;</math>, entonces <math>lim \ r^n \; = +\infty</math> y <math>lim \a_1 \cdot r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1 \mbox{ >0} \\ 4, & \mbox{si }a_1 \mbox{ <0} \end{cases}</math>
}} }}

Revisión de 18:17 12 ene 2009

Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}
  • Si r>1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \;:
lim \ S_n = S_{\infty}=+\infty \;
  • Si r<-1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

El número e

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}, se cumple que:

lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots (número áureo)

ejercicio

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)


ejercicio

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]


Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda