Algunos límites importantes (1ºBach)

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Tabla de contenidos

(Pág. 64)

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se define como el límite de una sucesión:

lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e


Dada la sucesión:

a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}

se cumple que:

lim \, a_n= e \;
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

(Pág. 65)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

Actividades

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos límites importantes


(Pág. 65)

2, 3

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