Algunos límites importantes (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica


Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

El número e

ejercicio

La sucesión del número e


El número e\;, se obtiene como el límite de una sucesión:

lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Video: Un número llamado e (13´)


Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
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Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo


Si a partir de la sucesión de Fibonacci, a_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,..., construimos, por recurrencia, la sucesión b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}, se cumple que:

lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots (número áureo)

ejercicio

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)


ejercicio

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]


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