Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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 +==Progresiones geométricas==
{{Progresiones geométricas}} {{Progresiones geométricas}}
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===Actividades=== ===Actividades===
-{{wolfram desplegable|titulo=Progresiones geométricas|contenido=+{{Actividades progresiones geometricas}}
-{{Wolfram Progresiones geométricas}}+
-}}+
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0501-ejercicio-15#.VCanTfl_u2E 
-|sinopsis=Determina tres números en progresión geométrica de manera que su producto sea 216 y su suma 19. 
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-|titulo1=2 ejercicios 
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-|sinopsis= 
-#Determina la progresión geométrica tal que <math>a_1+a_3+a_5=84 \;</math> y <math>a_2+a_4+a_6=168 \;</math>. 
-#Determina tres números en progresión geométrica de manera que su suma sea 28 y la diferencia entre el tercero y el primero sea 12. 
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0503-ejercicio-11#.VCanxfl_u2E 
-|sinopsis=Determina tres números en progresión geométrica de manera que al sumar 2 al segundo resulta una progresión aritmética, y al sumar 9 al tercero de ésta última resulta una progresión geométrica. 
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-|titulo1=3 ejercicios 
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0701-tres-ejercicios-3#.VCaq8fl_u2E 
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \}</math> una progresión geométrica de razón r. Determina: 
-# <math>S_6 \;</math> sabiendo que <math>a_4=125 \;</math> y <math>a_7=15625 \;</math> 
-# <math>a_3 \;</math> sabiendo que r=2 y <math>S_{15}=98301 \;</math> 
-# n sabiendo que <math>a_3 =4 \;</math>, r=2 y <math>S_n=31 \;</math> 
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-{{Video_enlace 
-|titulo1=Ejercicio 
-|duracion=3´22" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0702-ejercicio-19#.VCarJvl_u2E 
-|sinopsis=Resuelve la ecuación: <math>1+ \frac{x}{x-1}+ \left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+ \cdots + \left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0</math> 
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-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Capitalización compuesta 
-|duracion=6´42" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/08-capitalizacion-compuesta#.VCazufl_u2E 
-|sinopsis=Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de capitalización o interés compuesto como aplicación de las progresiones geométricas. 
-}} 
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-|titulo1=4 ejercicios (de capitalización compuesta) 
-|duracion=6´22" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0801-cuatro-ejercicios-#.VCaz6Pl_u2E 
-|sinopsis= 
-#Determina el montante obtenido al invertir 1500 € durante 5 años al 9% de interés compuesto anual. 
-#Determina el capital C que debe invertirse durante 4 años al 7% de interés compuesto anual para obtener un montante de 3000 €. 
-#Si el montante obtenido al cabo de 5 años por un capital de 1350 € es de 1702.57 €, calcula el tipo de interés compuesto anual. 
-#Si el interés compuesto anual es del 5%, calcula el tiempo que ha estado invertido un capital de 2100 € si el montante obtenido es de 2954.91 € 
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-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Fondo de pensiones 
-|duracion=5´39" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/09-fondo-de-pensiones#.VCa0C_l_u2E 
-|sinopsis=Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de pensiones basado en un sistema de capitalización compuesta como aplicación de las progresiones geométricas. 
-}} 
-{{p}} 
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-|titulo=Problema: ''Progresiones geométricas'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado=Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó, como recompensa por el invento, que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso. 
- 
-Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?  
-|sol= a) <math> S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615 </math>  
-{{p}} 
-b) <math>\frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg</math> 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
- 
==Sucesiones de potencias== ==Sucesiones de potencias==
(pág. 59) (pág. 59)

Revisión de 10:39 14 sep 2016

Tabla de contenidos

(pág 58)

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} + d \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d = 4\;.

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética


El término general, a_n\;\!, de una progresión aritmética de diferencia d\;\! es:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética


La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Actividades

ejercicio

Problema: Progresiones aritméticas


Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo (es decir, 795€ por el segundo metro,...).

a) ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado?

b) Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

(pág. 58)

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r = 2\;.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica


El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica


En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica


La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica


Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica


La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de "n" términos de una progresión geométrica


El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

Actividades

Sucesiones de potencias

(pág. 59)

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente.

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos


  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}

Sucesión de Fibonacci

(pág. 60)

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci


El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo


El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos tipos de sucesiones


(Pág. 59)
1, 2, 4, 6
3, 5

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