Algunos tipos de sucesiones (1ºBach)

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 +==Progresiones aritméticas==
{{Progresiones aritméticas}} {{Progresiones aritméticas}}
-===Ejercicios===+===Actividades===
-(pág. 54)+{{Actividades progresiones aritmeticas}}
-{{Wolfram - Progresiones aritméticas}}+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios propuestos: ''Progresiones aritméticas''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]]'''1.''' ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas?. En cada una de ellas di cual es su diferencia y calcula dos términos más:+
-{{b4}}{{b4}}a) {3, 7, 11, 15, 19, ...} 
-{{b4}}{{b4}}b) {3, 4, 6, 9, 13, 18, ...} 
-{{b4}}{{b4}}c) {3, 6, 12, 24, 48, 96, ...} 
-{{b4}}{{b4}}d) {10, 7, 4, 1, -2, ...} 
-{{b4}}{{b4}}e) {17.4, 15.8, 14.2, 12.6, 11, ...} 
-{{b4}}{{b4}}f) {-18, -3.1, 11.8, 26.7, 41.6, ...} 
- 
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]]'''2.''' En la sucesión 1a), halla el término 20º y la suma de los 20 primeros términos. 
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]]'''3.''' En la sucesión 1d), halla el término 40º y la suma de los 40 primeros términos. 
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]]'''4.''' En la sucesión 1e), halla el término 100º y la suma de los 100 primeros términos. 
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]]'''5.''' En la sucesión 1e), halla los términos 8º y 17º y la suma de los términos del 8º al 17º. 
- 
- 
-|sol= Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones. 
- 
-{{widget generico}} 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
- 
-===Videotutoriales=== 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=5 ejercicios 
-|duracion=7´51" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0301-cinco-ejercicios-4#.VCajWPl_u2E 
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \} \;</math> una progresión aritmética de diferencia "d": 
-#Determina <math>a_{40} \;</math> sabiendo que <math>a_1=12 \;</math> y d=3. 
-#Determina d sabiendo que <math>a_1=4 \;</math> y <math>a_{18}=-30 \;</math>. 
-#Determina n sabiendo que <math>a_1=-4 \;</math> y <math>a_n=26 \;</math> y d=3. 
-#Determina d, <math>a_1 \;</math> y <math>a_n \;</math> sabiendo que <math>a_{35}=48 \;</math> y <math>a_{45}=-2 \;</math>. 
-#Determina <math>a_5 \;</math> y <math>a_{42} \;</math> sabiendo que <math>a_{19}=108 \;</math> y d=4. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=6 ejercicios 
-|duracion=10´12" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0302-seis-ejercicios#.VCajnvl_u2E 
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \} \;</math> una progresión aritmética. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? 
-#<math>a_4 + a_8 = 2 \cdot a_6</math> 
-#<math>a_9 + a_{18} = a_3 + a_{24} \;</math> 
-#<math>a_2 + a_8 = 2 \cdot a_4 \;</math> 
- 
-Completa las siguientes igualdades: 
- 
-#<math>a_6 + a_{12} =a_8 + \Box \;</math> 
-#<math>a_8 + a_{11} =a_{10} + \Box \;</math> 
-#<math>2 \cdot a_9 =a_3 + \Box \;</math> 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=2 problemas 
-|duracion=7´47" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0303-dos-ejercicios-5#.VCajufl_u2E 
-|sinopsis= 
-#Sea <math>\{ a_n \} \;</math> una progresión aritmética. Halla <math>a_{10} \;</math> sabiendo que <math>a_2 + a_3 = 2 \;</math> y <math>a_5 + a_7 = 46\;</math>. 
-#Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética, determina el perímetro sabiendo que la hipotenusa mide 30 m. 
-}} 
- 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=2 problemas 
-|duracion=5´18" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0304-dos-ejercicios 
-|sinopsis= 
-#Determina tres números en progresión aritmética de modo que su suma sea 12 y la suma de sus cuadrados sea 16. 
-#Determina los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética de diferencia 7. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=4 ejercicios 
-|duracion=7´36" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0401-cuatro-ejercicios#.VCak8fl_u2E 
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \} \;</math> una progresión aritmética de diferencia d. Determina: 
-#<math>S_{13} \;</math> sabiendo que <math>a_1=4 \;</math> y d=2. 
-#<math>S_{15} \;</math> sabiendo que <math>a_{15}=25 \;</math> y d=2. 
-#<math>S_{20} \;</math> sabiendo que <math>a_{12}=18 \;</math> y d=3. 
-#k sabiendo que <math>a_1=2 \;</math>, d=6 y <math>S_k=70 \;</math>. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=4 ejercicios 
-|duracion=6´28" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0402-cuatro-ejercicios#.VCalIvl_u2E 
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \} \;</math> una progresión aritmética de diferencia d. Determina: 
-#d sabiendo que <math>a_1=2 \;</math> y <math>S_{20}=610 \;</math> 
-#<math>S_{26} \;</math> sabiendo que <math>a_{12}=10 \;</math> y <math>a_{16}=18 \;</math>. 
-#<math>a_1 \;</math> sabiendo que d=3 y <math>S_{10} =145 \;</math>. 
-#k sabiendo que <math>a_1=5 \;</math>, <math>a_k=23 \;</math> y <math>S_k=392 \;</math>. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=2 problemas 
-|duracion=6´08" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0403-dos-ejercicios-2#.VCaj7vl_u2E 
-|sinopsis= 
-#La suma de los n primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, ... es 210. Halla n. 
-#La suma de los 6 primeros términos de una progresión aritmética es 36, siendo <math>a_1 \cdot a_6=11</math>. Determina el término general de la progresión. 
-}} 
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 58)
 +==Progresiones geométricas==
{{Progresiones geométricas}} {{Progresiones geométricas}}
- 
-===Ejercicios=== 
-{{Wolfram Progresiones geométricas}} 
-===Ejercicios de progresiones geométricas (Videotutoriales)=== 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Ejercicio 
-|duracion=4'17" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0501-ejercicio-15#.VCanTfl_u2E 
-|sinopsis=Determina tres números en progresión geométrica de manera que su producto sea 216 y su suma 19. 
-}} 
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+===Actividades===
-|titulo1=2 ejercicios+{{Actividades progresiones geometricas}}
-|duracion=6'04"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0502-dos-ejercicios#.VCannPl_u2E+
-|sinopsis=+
-#Determina la progresión geométrica tal que <math>a_1+a_3+a_5=84 \;</math> y <math>a_2+a_4+a_6=168 \;</math>.+
-#Determina tres números en progresión geométrica de manera que su suma sea 28 y la diferencia entre el tercero y el primero sea 12.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Ejercicio+
-|duracion=7'27"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0503-ejercicio-11#.VCanxfl_u2E+
-|sinopsis=Determina tres números en progresión geométrica de manera que al sumar 2 al segundo resulta una progresión aritmética, y al sumar 9 al tercero de ésta última resulta una progresión geométrica.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=3 ejercicios+
-|duracion=8´14"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0701-tres-ejercicios-3#.VCaq8fl_u2E+
-|sinopsis=Sea <math>\{ a_n \}</math> una progresión geométrica de razón r. Determina:+
-# <math>S_6 \;</math> sabiendo que <math>a_4=125 \;</math> y <math>a_7=15625 \;</math>+
-# <math>a_3 \;</math> sabiendo que r=2 y <math>S_{15}=98301 \;</math>+
-# n sabiendo que <math>a_3 =4 \;</math>, r=2 y <math>S_n=31 \;</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Ejercicio+
-|duracion=3´22"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0702-ejercicio-19#.VCarJvl_u2E+
-|sinopsis=Resuelve la ecuación: <math>1+ \frac{x}{x-1}+ \left ( \frac{x}{x-1} \right )^2+ \cdots + \left ( \frac{x}{x-1} \right )^7=0</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Capitalización compuesta+
-|duracion=6´42"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/08-capitalizacion-compuesta#.VCazufl_u2E+
-|sinopsis=Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de capitalización o interés compuesto como aplicación de las progresiones geométricas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=4 ejercicios (de capitalización compuesta)+
-|duracion=6´22"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/0801-cuatro-ejercicios-#.VCaz6Pl_u2E+
-|sinopsis=+
-#Determina el montante obtenido al invertir 1500 € durante 5 años al 9% de interés compuesto anual.+
-#Determina el capital C que debe invertirse durante 4 años al 7% de interés compuesto anual para obtener un montante de 3000 €.+
-#Si el montante obtenido al cabo de 5 años por un capital de 1350 € es de 1702.57 €, calcula el tipo de interés compuesto anual.+
-#Si el interés compuesto anual es del 5%, calcula el tiempo que ha estado invertido un capital de 2100 € si el montante obtenido es de 2954.91 €+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Fondo de pensiones+
-|duracion=5´39"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/04-sucesiones-aritmeticas-sucesiones-geometricas/09-fondo-de-pensiones#.VCa0C_l_u2E+
-|sinopsis=Fórmula para la obtención del capital final en un sistema de pensiones basado en un sistema de capitalización compuesta como aplicación de las progresiones geométricas.+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +{{Progresiones geometricas sorprendentes}}
 +(Pág. 59)
==Sucesiones de potencias== ==Sucesiones de potencias==
-{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma+{{sucesiones potencias}}
- +{{p}}
-<center><math>1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;</math></center>+(Pág. 60)
- +
- +
-}}+
- +
-De ellas las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de '''cuadrados''' y de '''cubos''', respectivamente.+
- +
-{{Teorema+
-|titulo=Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos+
-|enunciado=+
-:*La suma de los '''n''' primeros términos de una sucesión de cuadrados es+
- +
-<center><math>1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math></center>+
- +
-:*La suma de los '''n''' primeros términos de una sucesión de cubos es+
- +
-<center><math>1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}</math></center>+
-|demo= La demostración excede los niveles de este curso.+
-}}+
- +
==Sucesión de Fibonacci== ==Sucesión de Fibonacci==
-{{Caja_Amarilla|texto=La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa ([[Fibonacci]]), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:+{{Formula recurrente sucesion Fibonacci}}
- +
-<center><math>1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots</math></center>+
- +
-Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:+
- +
-<center><math>F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}</math></center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general: Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:
- +{{Término general de la sucesión de Fibonacci}}
-{{Teorema|titulo=Término general de la sucesión de Fibonacci+
-|enunciado= El término general de la sucesión de Fibonacci es:+
-<center><math>F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}</math></center>+
- +
-siendo <math>\phi\;</math> el número áureo. +
- +
-<center><math>\phi=\frac{1+\sqrt5}2</math></center>+
- +
-|demo= Puedes ver una demostración que sobrepasa este nivel en este enlace: [http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesión_de_Fibonacci enlace a wikipedia]+
-}}+
{{p}} {{p}}
===La sucesión de Fibonacci y el número áureo=== ===La sucesión de Fibonacci y el número áureo===
{{Sucesión de Fibonacci}} {{Sucesión de Fibonacci}}
{{p}} {{p}}
-{{Video de Fibonacci}}+{{Video: Sucesión de Fibonacci y el numero aureo}}
{{p}} {{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Sucesión de Fibonacci|contenido=
{{Wolfram Fibonacci}} {{Wolfram Fibonacci}}
 +}}
 +{{p}}
==Ejercicios== ==Ejercicios==
-===Progresiones aritméticas===+{{Video_enlace_tutomate
-{{ejercicio+|titulo1=Problemas
-|titulo=Problemas: ''Progresiones aritméticas''+|duracion=7'18"
-|cuerpo=+|sinopsis=Problemas de progresiones.
-{{ejercicio_cuerpo+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=c3rFAbYpVMc&list=PLWRbPOo5oaTdMwN6dyOB5PuYKC5dDqQuU&index=8
-|enunciado='''1.''' Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.+
- +
-a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...+
-|sol= <math>a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9</math>+
}} }}
-{{ejercicio_cuerpo+{{p}}
-|enunciado='''2.''' Si <math>a_1=0\;\!</math> y <math>d = 3\;\!</math>, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale <math>a_8\;\!</math>?+===Ejercicios propuestos===
-|sol= <math>a_n=3n-3; \qquad a_8=21</math>+
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''3.''' Si <math>a_{10}=14\;\!</math> y <math>d = -2\;\!</math>, calcular <math>a_1\;\!</math>.+
-|sol= <math>14=a_1+(10-1).(-2); \qquad a_1=32</math> +
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''4.''' Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.+
-|sol= <math>a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275</math> +
-}}+
- +
-}}+
-===Progresiones geométricas===+
{{ejercicio {{ejercicio
-|titulo=Problemas: ''Progresiones geométricas''+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Algunos tipos de sucesiones''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo+(Pág. 59)
-|enunciado='''1.''' Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones geométricas. Calcula la razón y el término general de cada una de ellas.+
-a) 1, 3, 9, 27.... b) 4, -4, 4, -4,.... c) 27, 9, 3, 1,...+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,c,f,g; 2; 4; 6
-|sol=<math>a) \quad a_n=3^{n-1} \qquad b)\quad a_n=4\cdot (-1)^{n-1} \qquad c)\quad a_n=27 \cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}= \frac{3^3}{3^{n-1}}= \frac{1}{3^{n-4}}</math>+
-}}+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1b,d,e,h,i,j,k,l; 3; 5
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''2.''' ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2 y el cuarto término 250? +
-|sol=<math>250=2 \cdot r^3; \; 125=r^3; \; r=5</math>+
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''3.''' Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas?+
-|sol= <math>a_n=3^n; \; a_{13}=3^{13}=1594323</math>+
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado='''4.''' Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó como recompensa por el invento que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó pero su sorpresa fue grande cuando vio no sólo que no cabían los granos en las casillas sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.+
-Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g.¿podrías averiguar cuántos Kg. de trigo solicitó el inventor?  
-|sol= a) <math> S_{64}= \frac{1 \cdot 2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1= 18446744073709551615 </math>  
-{{p}} 
-b) <math>\frac{18446744073709551615}{10000}=1844674407370955,1615 \;Kg</math> 
-}} 
}} }}
{{p}} {{p}}
-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] 
[[Categoría: Matemáticas|Sucesiones]][[Categoría: Números|Sucesiones]] [[Categoría: Matemáticas|Sucesiones]][[Categoría: Números|Sucesiones]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág 58)

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, d\;\!, que llamaremos diferencia.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} + d \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_aritmetica.png

es una progresión aritmética con diferencia d = 4\;.

Término general de una progresión aritmética

ejercicio

Término general de una progresión aritmética


El término general, a_n\;\!, de una progresión aritmética de diferencia d\;\! es:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!

Suma de términos de una progresión aritmética

ejercicio

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética


La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}

Actividades

ejercicio

Problema: Progresiones aritméticas


Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo (es decir, 795€ por el segundo metro,...).

a) ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado?

b) Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

(Pág. 58)

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r = 2\;.

Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica


El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica


En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

Suma de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica


La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica


Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica


La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

Producto de términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de "n" términos de una progresión geométrica


El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

Actividades

ejercicio

Problemas: Progresiones geométricas


La recompensa al inventor del ajedrez: Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó, como recompensa por el invento, que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó, pero su sorpresa fue grande cuando vio, no sólo que no cabían los granos en las casillas, sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g. ¿Podrías averiguar cuántos kg de trigo solicitó el inventor?

Una progresión increible: Supongamos que plegamos, sucesivas veces, una hoja de papel de 0.14 mm de grosor. Con cada pliegue duplicamos el grosor.

Comprueba que:

a) Con 22 dobleces supera la altura de la torre Eiffel (324 m).

b) Con 26 dobleces supera la altura del Everest (8848 m)

c) Con 50 dobleces supera la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de km).

Aquiles y la tortuga: Zenón, filósofo griego del s. V a.C., describió la siguiente paradoja:

Aquiles corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un treho. Cuando Aquiles recorre ese trecho, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.

Intenta demostrar que este argumento de Zenón es falso. Para ello puede suponer que Aquiles corre 10 veces más rápido que la tortuga y que inicialmente la tortuga se encuentra a una distancia de Aquiles que este tarda en recorrer, por ejemplo, 10 s. Es decir, Aquiles tardaría 10 seg en alcanzar el punto de partida de la tortuga. Una vez alcanzado este, tardaría 1 s en alcanzar la nueva posición de la tortuga, luego 1/10 s en alcanzar el siguiente, etc. Si este proceso lo repetimos infinitas veces (momento en el que se daría alcance a la tortuga), ¿cuánto tiempo habría invertido Aquiles en total?

(Pág. 59)

Sucesiones de potencias

Una sucesión de potencias es una sucesión de la forma

1, \ 2^m, \ 3^m, \ 4^m, \ 5^m, \ \cdots \ , n^m \ \cdots \qquad (m \in \mathbb{N})\;

De ellas, las más frecuentes son para los casos m=2 y m=3, que son las sucesiones de cuadrados y de cubos, respectivamente:

1, \ 2^2, \ 3^2, \ 4^2, \ 5^2, \ \cdots \ , n^2 \;
1, \ 2^3, \ 3^3, \ 4^3, \ 5^3, \ \cdots \ , n^3 \;

ejercicio

Suma de términos de las sucesiónes de cuadrados y cubos


  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cuadrados es
1+2^2+3^2+4^2+5^2+ \cdots +n^2 = \cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
  • La suma de los n primeros términos de una sucesión de cubos es
1+ \ 2^3+3^3+4^3+5^3+ \cdots +n^3 = \cfrac{n^2(n+1)^2}{4}

(Pág. 60)

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se debe a Leonardo de Pisa (Fibonacci), matemático italiano del siglo XIII. Es la siguiente:

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \cdots

Es una sucesión recurrente dada por la siguiente relación de recurrencia:

F_1=1,\ F_2=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Existe también una fórmula explícita, no recurrente, para el término general:

ejercicio

Término general de la sucesión de Fibonacci


El término general de la sucesión de Fibonacci es:

F_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt5}

siendo \phi\; el número áureo.

\phi=\frac{1+\sqrt5}2

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

ejercicio

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo


El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo (\phi\;):

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...

 

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Algunos tipos de sucesiones


(Pág. 59)

1a,c,f,g; 2; 4; 6

1b,d,e,h,i,j,k,l; 3; 5

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