Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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-==Ángulos coterminales==+(Pág. 108)
-{{Caja_Amarilla|texto=Dos ángulos <math>\alpha \;</math> y <math>\beta\;</math> son '''coterminales''' (<math>\alpha \equiv \beta</math>), si se diferencian en un número entero de vueltas a la [[Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)#Circunferencia goniométrica | circunferencia goniométrica]]. Es decir,+
-<center><math>\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ</math>.</center>+Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.
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-Los ángulos coterminales, al tener la misma posición dentro de la circunferencia goniométrica, van a tener las mismas razones trigonométricas.+==Ángulos coterminales==
- +{{Ángulos coterminales}}
-}}+
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-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido= 
-*Los ángulos 30º, 390º (30º+360º) y 750º (30º+2·360º) son coterminales. 
-*3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. 
-}} 
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-{{Video_enlace 
-|titulo1=Reducción de un ángulo al primer giro 
-|duracion=7´03" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/02-reduccion-de-un-angulo-al-primer-giro#.VChL8RZ8HA8 
-|sinopsis=*Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo orientado "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la '''reducción al primer giro''' de "A". 
-*Ejemplos. 
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-}} 
- 
-==Ángulos negativos== 
-{{Caja_Amarilla|texto=Los '''ángulos positivos''' son aquellos que siguen el sentido contrario de las agujas del reloj en la circunferencia goniométrica. Los '''ángulos negativos''', por el contrario, siguen el sentido de las agujas del reloj.}} 
-{{p}} 
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él. En consecuencia, las razones trigonométricas de ángulos negativos, las podemos estudiar sobre ángulos positivos coterminales con él.|demo=Es inmediato, dado un ángulo negativo, basta sumarle 360º un número suficiente de veces, para obtener un ángulo positivo coterminal con él. 
-{{p}} 
-Como los ángulos coterminales ocupan la misma posición en la circunferencia goniométrica, sus razones trigonométricas serán las mismas. 
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido= 
-*El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas. 
-}} 
-{{p}} 
-{{wolfram desplegable|titulo=Ángulos coterminales|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''Ángulos coterminales'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el ángulo coterminal con 2000º menor de 360º. 
-:b) Halla el ángulo coterminal con -2000º menor de 360º y positivo. 
-{{p}} 
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-{{p}} 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:a) {{consulta|texto=remain 2000/360}} o bien {{consulta|texto=2000 mod 360}} 
-:b) {{consulta|texto=remain -2000/360}} o bien {{consulta|texto=-2000 mod 360}} 
- 
-{{widget generico}} 
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- 
-{{Video_enlace 
-|titulo1=Angulo orientado 
-|duracion=9´16" 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/01-angulo-orientado-angulo-levogiro-angulo-dextrogiro#.VChLmBZ8HA8 
-|sinopsis=Un ángulo se dice "orientado" si uno de sus lados se bautiza "lado origen" y el otro lado se bautiza "lado extremo". 
-Si para hacer coincidir el lado origen con el lado extremo se gira alrededor del vértice en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo se dice "positivo" o "levógiro", diciéndose "negativo" o "dextrógiro" si se gira en el sentido a las agujas del reloj. 
-}}+==Ejercicios==
 +{{Actividades: Ampliación del concepto de ángulo}}
-==Ejercicios propuestos==+===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Angulos coterminales'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Angulos coterminales''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{b4}}(Pág. 108)+(Pág. 108)
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-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2d,e,f,g,h+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2d,e,f,g,h
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Revisión de 09:02 18 feb 2019

(Pág. 108)

Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.

Ángulos coterminales

Dos ángulos, \alpha \; y \beta\;, son coterminales (se nota \alpha \equiv \beta) si tienen el mismo vértice, el mismo lado inicial y el mismo lado final.

ejercicio

Propiedades


Los ángulos coterminales se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ.

ejercicio

Propiedades


  • Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas.
  • Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
  • Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él.

Si un ángulo \alpha\; tiene medida superior a 360º, al ángulo \beta\; con medida inferior a 360º coterminal con \alpha\;, decimos que es la reducción al primer giro de \alpha\;.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Angulos coterminales


(Pág. 108)

2a,b,c

2d,e,f,g,h

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