Ampliación del concepto de ángulo (1ºBach)

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-Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos menores que 0º (negativos).+Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.
{{p}} {{p}}
==Ángulos coterminales== ==Ángulos coterminales==
-{{Caja_Amarilla|texto=Dos ángulos <math>\alpha \;</math> y <math>\beta\;</math> son '''coterminales''' (<math>\alpha \equiv \beta</math>), si se diferencian en un número entero de vueltas a la [[Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (1ºBach)#Circunferencia goniométrica | circunferencia goniométrica]]. Es decir,+{{Ángulos coterminales}}
- +
-<center><math>\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ</math>.</center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido= 
-Los ángulos 30º, 390º y 750º son coterminales. 
------------ 
-En efecto: 
-*390º = 30º+360º+==Ejercicios==
- +{{Actividades: Ampliación del concepto de ángulo}}
-*750º =30º+2·360º+
- +
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades|enunciado=+
-*Los ángulos coterminales, al tener la misma posición dentro de la circunferencia goniométrica, tienen las mismas razones trigonométricas.+
-*Dado un ángulo mayor que 360º, existe un único ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Caja_Amarilla|texto=Si un ángulo <math>\alpha\;</math> tiene medida superior a 360º, del único ángulo <math>\beta\;</math> con medida inferior a 360º coterminal con <math>\alpha\;</math>, decimos que es la '''reducción al primer giro''' de <math>\alpha\;</math>.}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=+
-*3000º es coterminal con 120º porque la división 3000:360 da 120 de resto. Entonces 120º es la recucción al primer giro de 3000º.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Reducción de un ángulo al primer giro+
-|duracion=7´03"+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/06-angulos-orientados/02-reduccion-de-un-angulo-al-primer-giro#.VChL8RZ8HA8+
-|sinopsis=*Si un ángulo orientado "A" tiene medida superior a 360º, del único ángulo "B" con medida inferior a 360º coterminal con "A", decimos que es la '''reducción al primer giro''' de "A".+
-*Ejemplos.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él. En consecuencia, las razones trigonométricas de ángulos negativos, las podemos estudiar sobre ángulos positivos coterminales con él.|demo=Es inmediato, dado un ángulo negativo, basta sumarle 360º un número suficiente de veces, para obtener un ángulo positivo coterminal con él.+
-{{p}}+
-Como los ángulos coterminales ocupan la misma posición en la circunferencia goniométrica, sus razones trigonométricas serán las mismas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=+
-*El ángulo -60º tiene por coterminal al ángulo 300º (-60º+360º). Por tanto, las razones trigonométricas de -60º y 300º son las mismas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=Ampliación del concepto de ángulo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Ampliación del concepto de ángulo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el ángulo coterminal con 2000º menor de 360º.+
-:b) Halla el ángulo coterminal con -2000º menor de 360º y positivo.+
-{{p}}+
-|sol=+
-{{p}}+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=remain 2000/360}} o bien {{consulta|texto=2000 mod 360}}+
-:b) {{consulta|texto=remain -2000/360}} o bien {{consulta|texto=-2000 mod 360}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-==Ejercicios propuestos==+===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Ejercicios propuestos: ''Angulos coterminales'' |titulo=Ejercicios propuestos: ''Angulos coterminales''
|cuerpo= |cuerpo=
-{{b4}}(Pág. 108)+(Pág. 108)
-{{b4}}[[Imagen:red_star.png|12px]] 2a,b,c+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,c,e; 2a,b,c
-{{b4}}[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2d,e,f,g,h+[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 1b,d,f; 2d,e,f,g,h
}} }}

Revisión actual

(Pág. 108)

Hasta ahora hemos trabajado con ángulos comprendidos entre 0º y 360º. Vamos a extender el estudio a ángulos con una medida mayor que 360º. Igualmente haremos con ángulos negativos.

Ángulos coterminales

Dos ángulos, \alpha \; y \beta\;, son coterminales (se nota \alpha \equiv \beta) si tienen el mismo vértice, el mismo lado inicial y el mismo lado final.

ejercicio

Propiedades


Los ángulos coterminales se diferencian en un número entero de vueltas a la circunferencia goniométrica. Es decir,

\alpha \equiv \beta \iff \exist n \in \mathbb{Z} \ / \ \beta = \alpha + n \cdot 360^\circ.

ejercicio

Propiedades


  • Los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas.
  • Dado un ángulo mayor que 360º, existe un ángulo comprendido entre 0º y 360º coterminal con él, que es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
  • Dado un ángulo negativo, existe un ángulo positivo coterminal con él.

Si un ángulo \alpha\; tiene medida superior a 360º, al ángulo \beta\; con medida inferior a 360º coterminal con \alpha\;, decimos que es la reducción al primer giro de \alpha\;.

Ejercicios

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Angulos coterminales


(Pág. 108)

1a,c,e; 2a,b,c

1b,d,f; 2d,e,f,g,h

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