Aplicaciones de la derivada (2ºBach)

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Tabla de contenidos

Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

ejercicio

Procedimiento


Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

  • En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
  • En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento


Dada la función f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;, halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Utilidad de la segunda derivada

Concavidad y puntos de inflexión

  • Una función es cóncava (o concava hacia abajo) en un intervalo (a,c), si para todo punto "b" del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función.
  • Una función es convexa (o concava hacia arriba) en un intervalo (a,c), si para todo punto "b" del intervalo la recta tangente en ese punto queda por debajo de la función.
  • Un punto de infexión de una función es aquel punto del dominio de la función en el cual la función cambia de concavidad, es decir, pasa de ser concava a convexa o viceversa.

Cóncava

Convexa

ejercicio

Procedimiento


Para estudiar la concavidad de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada segunda:

  • En aquellos puntos donde la derivada segunda sea positiva la función será cóncava hacia arriba.
  • En aquellos puntos donde la derivada segunda sea negativa la función será cóncava hacia abajo.
  • En aquellos puntos donde la derivada segunda sea nula la función puede tener un punto de inflexión. Su determinación se hará viendo el signo de la derivada segunda antes y después del punto.


Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

Ejercicios

Herramientas personales
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