Brahmagupta

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Brahmagupta (598–668), matemático y astrónomo indú.

Tabla de contenidos

1 Vida y obra
2 Matemáticas

Vida y obra

Brahmagupta nació en el año 598 en Bhinmal, ciudad en el estado de Rajasthan, al noroeste de la India. Probablemente vivió la mayor parte de su vida en Bhillamala (moderna Bhinmal, en Rajasthan) en el imperio de Harsha, durante el reinado del Rey Vyaghramukha. Como resultado de ello, Brahmagupta es a menudo citado como Bhillamalacarya que quiere decir, el maestro de Bhillamala Bhinmal.

Fue el jefe del observatorio astronómico en Ujjain, y durante su mandato allí escribió cuatro textos sobre las matemáticas y la astronomía: Cadamekela en el 624, Brahmasphutasiddhanta en 628, Khandakhadyaka en 665, y Durkeamynarda en 672. El Brahmasphutasiddhanta (Tratado corregido de Brahma) es posiblemente su obra más famosa. El historiador Al-Biruni (c. 1050) en su libro Tariq al-Hind, afirma que el califa Abbasid al-Ma'mun, que tenía una embajada en la India, llevó de3 allí un libro a Bagdad que fue traducido al árabe como Sindhind. Se presume que Sindhind no es otro que Brahmagupta-Brahmasphuta Siddhanta.

Aunque Brahmagupta estaba familiarizado con las obras de los astrónomos siguiendo la tradición de Aryabhatiya, no se sabe si está familiarizado con la labor de Bhaskara I, un contemporáneo. Brahmagupta tenía una cantidad de críticas dirigidas hacia la labor de los astrónomos rivales, y en su Brahmasphutasiddhanta se encuentra uno de los primeros cismas de fe entre matemáticos indios. La división fue principalmente sobre la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que sobre las matemáticas en si mismas. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos se debieron en gran parte de la elección de las teorías y parámetros astronómicos. A lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos aparecen críticas a las teorías rivales, y el undécimo capítulo está completamente dedicado a la crítica de estas teorías, aunque las críticas no aparecen en el duodécimo y décimo octavo capítulos.

Matemáticas

La obra más famosa de Brahmagupta es su Brahmasphutasiddhanta. Compuesta en verso elíptico, practica común en las matemáticas indueshematics]], la obra tiene, en consecuencia, un cierto halo poético. Como en ella no se dan demostraciones, no se sabe como Brahmagupta obtenía los resultados matemáticos.

Algebra

Brahmagupta da la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphutasiddhanta, que aunque expresada en el libro en palabras, viene a ser equivalente a la siuiente expresión algebraica:

$x = \frac{e-c}{b-d}$

Además, dio dos soluciones equivalentes para la ecuación general de segundo grado, que vienen a ser equivalentes, respectivamente, a las siguientes expresiones algebraicas:

$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}$

$x = \frac{\sqrt{ac+\frac{b^2}{4}}-\frac{b}{2}}{a}$

El contina resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminados, enunciando que la variable elegida debe primero aislarse, y que luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable elegida.

Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta es sincopada. La suma la indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo, la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación, pero sin la barra. La multiplicación, las raices y las incógnitas las representaba mediante abrebiaturas de términos apropiados. Fue el primero en dar una solución general a la ecuación lineal de Diofanto $a x + b y = c$ , donde a, b, y c son enteros. También es muy posible que diese todas las soluciones de dicha ecuación, mientras que Diofanto se sintió satisfecho con dar una sola solución de una ecuación indeterminada. En la medida en que Brahmagupta utilizó algunos ejemplos iguales a los de Diofanto, vemos la posibilidad de que ambos hubiesen usado las mismas fuentes, posiblemente babilónicas. No se sabe hasta que punto el uso de la notación sincopada en el álgebra de Brahmagupta es debido a los griegos o si tanto griegos como hindues derivan su uso de una fuente común usase notación sincopada, no se conoce y es posible que tanto el griego y el indio síncopa pueden derivarse de una fuente común, las matemáticas babilónicas.

Aritmética

Fracciones: Al comienzo del capítulo doce de su Brahmasphutasiddhanta, titulado Cálculo, Brahmagupta detalla operaciones con fracciones. Da por supuesto que el lector conoce las operaciones aritméticas básicas, como tomar la raíz cuadrada, aunque si explica cómo hallar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y, posteriormente, da normas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. A continuación, da las normas para abordar cinco tipos de combinaciones de fracciones,

$\cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{c}$ ; $\cfrac{a}{c} \cdot \cfrac{b}{d}$ ; $\cfrac{a}{1} + \cfrac{b}{d}$ ; $\cfrac{a}{c} + \cfrac{b}{d} \cdot \cfrac{a}{c} = \cfrac{a(d+b)}{cd}$ ; $\cfrac{a}{c} - \cfrac{b}{d} \cdot \cfrac{a}{c} = \cfrac{a(d-b)}{cd}$

Series:

Brahmagupta continua dando la suma de los cuadrados y los cubos de los primeros "n" enteros. Traduciendo algebraicamente sus palabras sería:

Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales: $n\cdot(n+1)\cdot \frac{2n+1}{6}$
Suma de los cubos de los n primeros números naturales: $\left( \cfrac {n\cdot(n+1)}{2} \right)^2$ .

El cero y los números negativos:

Brahmagupta hace uso del número cero en su Brahmasphutasiddhanta, siendo este el primer texto conocido en el cual se trata al cero con entidad propia, más que como un simple dígito usado para representar otros números, como hacían los babilonios, o como símbolo para indicar la carencia de una cantidad, como hacía Ptolomeo y los romanos. En el capítulo octavo de Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta describes operaciones con númeroas negativos. Primero describe la suma y la resta, luego prosigue con la multiplicación dando una correcta regla de los signos, pero al dar la división lo estropea permitiendo la división por cero. Brahmagupta, por ejemplo, dice que: $\frac{0}{0} = 0$

Análisis diofántico

Ternas pitagóricas: En el capítulo doce de Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta halla ternas pitagóricas. Expresandolo en términos algebraicos:

Para una longitud dada $m\;$ y un multiplicador arbitrario $x\;$ , sean $a=mx\;$ y $b=m+ \cfrac{mx}{(x + 2)}$ . Entonces $m\;$ , $a\;$ , y $b\;$ forman una terna pitagórica.

Ecuación de Pell: Brahmagupta da una relación de recurrencia para generar soluciones de ciertos tipos de ecuaciones diofánticas de segundo grado, tales como $N x 2 + 1 = y 2$ (llamada ecuación de Pell), usando el algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides le era conocido con el nombre de "pulverizador" ya que simplificaba los números.

La clave para su solución era la identidad:

$(x^2_1 - Ny^2_1)(x^2_2 - Ny^2_2) = (x_1 x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1 y_2 + x_2 y_1)^2$

que es una generalización de una identidad descubierta por Diofanto,

$(x^2_1 - y^2_1)(x^2_2 - y^2_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 - (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2.$

Usando esta identidad y el hecho de que si $(x 1,$ $y_1)\;$ and $(x_2,\;$ $y_2)\;$ son soluciones de las ecuaciones $x^2 - Ny^2 = k_1\;$ y $x^2 - Ny^2 = k_2\;$ , respectivamente, entonces $(x_1 x_2 + N y_1 y_2,\;$ $x_1 y_2 + x_2 y_1)\;$ es una solución de $x^2 - Ny^2 = k_1 k_2\;$ , él supo encontrar soluciones enteras de la ecuación de Pell equation mediante una serie de ecuaciones de la forma $x^2 - Ny^2 = k_i\;$ . Por desgracia, Brahmagupta no fue capaz de aplicar su solución de forma uniforme para todos los posibles valores de N, sino que sólo pudo demostrar que si $x^2 - Ny^2 = k\;$ tiene una solución entera para $k = \pm 1, \pm 2, \pm 4$ , entonces $x^2 - Ny^2 = 1\;$ tiene una solución. la solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhaskara II (c. 1150)

Geometría

Fórmula de Brahmagupta: El resultado en geometría más famoso de Brahmagupta, es su fórmula para los cuadriláteros cíclicos (inscritos en una circunferencia).

Imagen:Brahmaguptas formula.svg

Diagram for reference

Dadas las longitudes de los lados de un cuadrilátero cíclico cualquiera, Brahmagupta dió una fórmula aproximada y otra exacta para el área de dicha figura. la traducción algebraica diría: Dadas las longitudes p, q, r y s of a cyclic quadrilateral, the approximate area is No se pudo entender (función desconocida\tfrac): (\tfrac{p + r}{2}) (\tfrac{q + s}{2})

while, letting No se pudo entender (función desconocida\tfrac): t = \tfrac{p + q + r + s}{2}

, the exact area is

$\sqrt{(t - p)(t - q)(t - r)(t - s)}.$

Although Brahmagupta does not explicitly state that these quadrilaterals are cyclic, it is apparent from his rules that this is the case.<ref>Plantilla:Cite book</ref> Heron's formula is a special case of this formula and it can be derived by setting one of the sides equal to zero.

Triangles

Brahmagupta dedicated a substantial portion of his work to geometry. One theorem states that the two lengths of a triangle's base when divided by its altitude then follows,

12.22. The base decreased and increased by the difference between the squares of the sides divided by the base; when divided by two they are the true segments. The perpendicular [altitude] is the square-root from the square of a side diminished by the square of its segment.<ref name="Plofker Brahmagupta quote Chapter 12"/>

Thus the lengths of the two segments are $b \pm (c^2 - a^2)/b$ .

He further gives a theorem on rational triangles. A triangle with rational sides a, b, c and rational area is of the form:

$a = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v}+v\right), \ \ b = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{w}+w\right), \ \ c = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v} - v + \frac{u^2}{w} - w\right)$

for some rational numbers u, v, and w.<ref>Plantilla:Harv</ref>

Brahmagupta's theorem

Plantilla:Main

Imagen:Brahmaguptra's theorem.svg

Brahmagupta's theorem states that AF = FD.

Brahmagupta continues,

12.23. The square-root of the sum of the two products of the sides and opposite sides of a non-unequal quadrilateral is the diagonal. The square of the diagonal is diminished by the square of half the sum of the base and the top; the square-root is the perpendicular [altitudes].<ref name="Plofker Brahmagupta quote Chapter 12"/>

So, in a "non-unequal" cyclic quadrilateral (that is, an isosceles trapezoid), the length of each diagonal is $\sqrt{pr + qs}$ .

He continues to give formulas for the lengths and areas of geometric figures, such as the circumradius of an isosceles trapezoid and a scalene quadrilateral, and the lengths of diagonals in a scalene cyclic quadrilateral. This leads up to Brahmagupta's famous theorem,

12.30-31. Imaging two triangles within [a cyclic quadrilateral] with unequal sides, the two diagonals are the two bases. Their two segments are separately the upper and lower segments [formed] at the intersection of the diagonals. The two [lower segments] of the two diagonals are two sides in a triangle; the base [of the quadrilateral is the base of the triangle]. Its perpendicular is the lower portion of the [central] perpendicular; the upper portion of the [central] perpendicular is half of the sum of the [sides] perpendiculars diminished by the lower [portion of the central perpendicular].<ref name="Plofker Brahmagupta quote Chapter 12"/>

Pi

In verse 40, he gives values of π,

12.40. The diameter and the square of the radius [each] multiplied by 3 are [respectively] the practical circumference and the area [of a circle]. The accurate [values] are the square-roots from the squares of those two multiplied by ten.<ref name="Plofker Brahmagupta quote Chapter 12"/>

So Brahmagupta uses 3 as a "practical" value of π, and $\sqrt{10}$ as an "accurate" value of π.

Measurements and constructions

In some of the verses before verse 40, Brahmagupta gives constructions of various figures with arbitrary sides. He essentially manipulated right triangles to produce isosceles triangles, scalene triangles, rectangles, isosceles trapezoids, isosceles trapezoids with three equal sides, and a scalene cyclic quadrilateral.

After giving the value of pi, he deals with the geometry of plane figures and solids, such as finding volumes and surface areas (or empty spaces dug out of solids). He finds the volume of rectangular prisms, pyramids, and the frustrum of a square pyramid. He further finds the average depth of a series of pits. For the volume of a frustum of a pyramid, he gives the "pragmatic" value as the depth times the square of the mean of the edges of the top and bottom faces, and he gives the "superficial" volume as the depth times their mean area.<ref>"Plantilla:Cite book</ref>

Trigonometry

Plantilla:Mergefrom In Chapter 2 of his Brahmasphutasiddhanta, entitled Planetary True Longitudes, Brahmagupta presents a sine table:

2.2-5. The sines: The Progenitors, twins; Ursa Major, twins, the Vedas; the gods, fires, six; flavors, dice, the gods; the moon, five, the sky, the moonl the moon, arrows, suns [...]<ref>Plantilla:Cite book</ref>

Here Brahmagupta uses names of objects to represent the digits of place-value numerals, as was common with numerical data in Sanskrit treatises. Progenitors represents the 14 Progenitors ("Manu") in Indian cosmology or 14, "twins" means 2, "Ursa Major" represents the seven stars of Ursa Major or 7, "Vedas" refers to the 4 Vedas or 4, dice represents the number of sides of the tradition die or 6, and so on. This information can be translated into the list of sines, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, and 3270, with the radius being 3270.<ref name="Plofker 419–420"/>

In his Paitamahasiddhanta, Brahmagupta uses the initial sine value of 225 with a radius of approximately 3438, although the rest of the sine table is lost. The value of 3438 for the radius is a traditional value that was also used by Aryabhata, although it is not known why Brahmagupta used 3270 instead of the 3438 in his Brahmasphutasiddhanta.<ref name="Plofker 419–420">Plantilla:Cite book</ref>

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 ===Análisis diofántico===
 *'''Ternas pitagóricas:''' En el capítulo doce de ''Brahmasphutasiddhanta'', Brahmagupta halla ternas pitagóricas. Expresandolo en términos algebraicos:
-Para una longitud dada <math>m\;</math> y un multiplicador arbitrario <math>x\;</math>, sea <math>a=mx\;</math> and b=m+\cfrac{mx}{(x + 2)}''. Then <math>m\;</math>, <math>a\;</math>, and <math>b\;</math> forman una terna pitagórica.
+Para una longitud dada <math>m\;</math> y un multiplicador arbitrario <math>x\;</math>, sean <math>a=mx\;</math> y <math>b=m+ \cfrac{mx}{(x + 2)}</math>. Entonces <math>m\;</math>, <math>a\;</math>, y <math>b\;</math> forman una terna pitagórica.
 *'''Ecuación de Pell:''' Brahmagupta da una relación de recurrencia para generar soluciones de ciertos tipos de ecuaciones diofánticas de segundo grado, tales como <math>Nx^2 + 1 = y^2</math> (llamada ecuación de Pell), usando el algoritmo de [[Euclides]]. El algoritmo de Euclides le era conocido con el nombre de "pulverizador" ya que simplificaba los números.