Combinatoria

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 +==Combinatoria==
 +{{Caja_Amarilla|texto=
 +La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}}
 +{{p}}
 +
 +Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
 +
 +El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_aula4all
 +|titulo1=Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones
 +|duracion=43'24"
 +|sinopsis=La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto.
 +
 +En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.
 +
 +Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.
 +
 +Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=A0wBokBfJWQ
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Combinatoria
 +|duracion=Lista de reproducción
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 +}}
 +{{p}}
 +
==Permutaciones== ==Permutaciones==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones''' de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.+{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Permutaciones
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 +|sinopsis=Tutorial sobre permutaciones con o sin repetición. Ejemplos
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 +}}
 +===Permutaciones ordinarias===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.
}} }}
{{p}} {{p}}
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Permutaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
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 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
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 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aKYGEwN4eD4&index=5&list=PL11093011D1BF0C20 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=aKYGEwN4eD4&index=5&list=PL11093011D1BF0C20
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-{{Video_enlace_unicoos+----
-|titulo1=Problema 3+{{Video_enlace_matematicasfaciles
-|duracion=6'43"+|titulo1=Permutaciones circulares
-|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras? (Permutaciones sin repetición)|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion+|duracion=3'00"
 +|sinopsis=Permutaciones circulares. Ejemplo.
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}} }}
-==Permutaciones con repetición==+===Permutaciones con repetición===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
}} }}
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones con repetición''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Permutaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
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 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Combinaciones== ==Combinaciones==
-{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}}+{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Combinaciones
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 +|sinopsis=Tutorial sobre combinaciones con o sin repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Oqfr9Yw1zHM
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 +===Combinaciones ordinarias===
 +{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}}
{{p}} {{p}}
{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado= {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
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{{p}}{{Videos: Ejercicios combinaciones}} {{p}}{{Videos: Ejercicios combinaciones}}
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-==Combinaciones con repetición==+ 
 +===Combinaciones con repetición===
{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos. {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.
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Línea 134: Línea 201:
{{p}} {{p}}
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula: El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
<center><math>CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}</math></center> <center><math>CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}</math></center>
 +|demo=Ver una explicación de esta fórmula en: [https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaciones_con_repetici%C3%B3n Combinaciones con repetición (Wikipedia)]
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir 10 caramelos iguales ente 4 niños?
 +----
 +'''Solución:'''
-==Variaciones con repetición==+:<math>CR^{10}_4 = {4+10-1\choose 10} = {13\choose 10} = 286</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Combinaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=5'02"
 +|sinopsis=Combinaciones con repetición. Ejemplo
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Mw2-H7fOjh0
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_educatina
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=7'48"
 +|sinopsis=¿De cuántas maneras puedo coger 4 botellas de una bodega en las que hay 5 tipos de bebida? (Se supone que hay suficientes botellas de cada tipo como para poder coger hasta 4 del mismo tipo)
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JmiBs6mUryE
 +}}
 +}}
 + 
 +==Variaciones==
 +{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Variaciones
 +|duracion=14'15"
 +|sinopsis=Tutorial sobre variaciones con o sin repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9UjgHjby_k8
 +}}
 +===Variaciones con repetición===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.
}} }}
Línea 154: Línea 251:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Variaciones con repetición''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Variaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=13'06"
 +|sinopsis=Variaciones con repetición. Ejemplos.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4PyuzzmaBYA
 +}}
 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 184: Línea 288:
{{p}} {{p}}
-==Variaciones ordinarias==+===Variaciones ordinarias===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
}} }}
Línea 197: Línea 301:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Variaciones ordinarias''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Variaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=14'57"
 +|sinopsis=Variaciones ordinarias (sin repetición). Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kjvXH-ZFnu0
 +}}
 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Ejercicios y Problemas== ==Ejercicios y Problemas==
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas: ''Combinatoria''|enunciado=
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=13'31"
 +|sinopsis=Combinaciones, Variaciones y Permutaciones, cómo distinguirlas
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WclFTatHYuw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=7
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=3'15"
 +|sinopsis=¿Cuántos parejas para jugar al parchís puedo formar con 5 alumnos?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Kyazsk4sk9g&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=4'19"
 +|sinopsis=¿Cuántos packs de 2 botellas distintos puedo formar con 4 marcas de vino?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=maiJoT-Idzg&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=2
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=4'32"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras distintas puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VcDnTHuqfEw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=3
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=3'36"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3IPL9YHbA28&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 5
 +|duracion=3'03"
 +|sinopsis=¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar los cuatro miembros de una familia en las cuatro butacas del cine?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WurKD-eph1s&index=5&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 6
 +|duracion=3'55"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de cinco cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 4, 6 y 6?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Os0FEZqkTfY&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=6
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 7
 +|duracion=6'43"
 +|sinopsis=Cálculo del número de apuestas que se pueden hacer en una lotería primitiva de 50 números de los que se eligen 6.
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/combinaciones/combinatoria-01-combinaciones-sin-repeticion
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 8
 +|duracion=2'50"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras?|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 9
 +|duracion=5'09"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 9 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 y 4?|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LUTlVlN56kE&index=3&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 10
 +|duracion=4'31"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3? ¿Cuántos son pares?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=t7oHJD7h6gM&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 11
 +|duracion=4'28"
 +|sinopsis=¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero, de un equipo de futbol, sabiendo que hay 12 candidatos?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h0FwTGtM7H8&index=5&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
 +}}
 +}}
{{Ejercicios_vitutor {{Ejercicios_vitutor
|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones'' |titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones''
Línea 279: Línea 464:
|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_2.html |url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_2.html
}} }}
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Combinatoria

La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.

Permutaciones

Permutaciones ordinarias

Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa P_n\;, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

P_n=n!\;

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa PR_n^{a,b,c,...}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;

Combinaciones

Combinaciones ordinarias

Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por C^k_n \, o C_{n,k} \,, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Ver: Números combinatorios

Combinaciones con repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por CR^k_n \, o CR_{n,k} \,, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.


Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}

Variaciones

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa VR_n^k\;, o bien VR_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

VR_{n,k}=n^k\;

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa V_n^k\;, o bien V_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)

Ejercicios y Problemas



Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda