Contrastes de hipótesis sobre medias y proporciones

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Procedimiento
3 Tipos de errores
4 Contraste de hipótesis sobre la media
5 Contraste de hipótesis sobre la proporción
6 Ejercicios
- 6.1 Comprobadores Java

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Introducción

Empezaremos con un ejemplo del tipo de problema que queremos resolver:

Supongamos que se fabrican bombillas que tienen una duración normal X y una desviación tipica $σ = 0.5$ . El fabricante afirma que la duración media de las bombillas es de $μ = 5$ meses.

Para contrastar esta afirmación se estudia una muestra de n = 25 bombillas y se halla la duración media $\bar{X}$ de las 25 bombillas. Queremos ver si es cierto lo que afirma que lo llamaremos Hipótesis nula $(H 0)$ .

El estadístico $\bar{X}$ se distribuye:

$\bar{X} \rightarrow N \left ( \mu, \frac{ \sigma } { \sqrt{n}} \right )$

Luego si fijamos un nivel de confianza $1 - α = 0.95$ el valor de $\bar{X}$ estará en el intervalo

$\left ( \mu - z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}, \mu + z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}} \right )= (5-1.96. \frac{0.5}{ \sqrt{0.25}},5+1.96. \frac{0.5}{ \sqrt{0.25}}) = (4.804,5.196)$

con una probabilidad de 0.95.

A este intervalo se le llama zona de aceptación.

Si la duración media $\bar{X}$ en la muestra de las 25 bombillas está en la zona de aceptación, aceptamos la hipótesis nula, en caso contrario la rechazamos.

En general, la hipótesis nula $(H 0)$ afirma algo sobre el valor de un parámetro de una población cuya verdad se quiere probar. Se llama test a un procedimiento que permita pronunciarse a favor o en contra de dicha hipótesis, frente a otra $(H 1)$ llamada hipótesis alternativa, en el transcurso de una experiencia aleatoria

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Procedimiento

1º. ¿Sobre qué parámetro?.

2º. Condiciones muestrales.

3º. Hipótesis nula y alternativa.

4º. Representación de la región de aceptación y rechazo.

5º. Valores tabulados.

6º. Decisión (según el método):

a) Método basado en la función de decisión: se acepta la hipótesis si el valor de la función de decisión se encuentra entre los valores tabulados.

b) Método basado en la región de aceptación: se acepta la hipótesis si el valor muestral pertenece a la región de aceptación.

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Tipos de errores

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Contraste de hipótesis sobre la media

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Contraste de hipótesis sobre la proporción

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Ejercicios

Ejercicios:Contrastes de hipótesis

1. En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que fabrica tiene una duración media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con un desviación típica de 120 horas. ¿Puede aceptarse la información de los folletos con un nivel de confianza del 95% ?

Solución:

Se rechaza ya que el intervalo de aceptación es (1576.48, 1623.52)

2. Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma es de 6.5 años, con una desviación típica de 4 años. ¿Sirve esta información para aceptar con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de duración de empleo es igual o inferior a 6?.

Solución:

Hipótesis:

$H_0\equiv \mu \le 6$
$H_1\equiv \mu > 6$