Distribuciones muestrales. Teorema central del límite

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Distribución muestral de las proporciones

Vamos a obtener experimentalmente la distribución de las proporciones muestrales. Para ello consideremos el conjunto de figuras:

La proporción poblacional de triángulos es 1/4.

Consideremos todas las muestras de tamaño 2 posibles, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento). Hallamos la distribución de probabilidad de la proporción muestral (nombrada por $\widehat{p}$ ):

Calculamos su esperanza matemática y la varianza:

$E( \widehat{p})= 0. \frac{9} {16} + 0.5. \frac{6} {16} + 1. \frac{1} {16} = \frac{1} {4}= p$

$V( \widehat{p})= 0^2. \frac{9} {16} + 0.5^2. \frac{6} {16} + 1^2. \frac{1} {16} - ( \frac{1} {4})^2 = \frac{3} {32}= \frac{p.(1-p)} {n}$

El número de éxitos x de una muestra de tamaño n, se distribuye de forma binomial B(n, p); si la aproximamos a una normal será $N( n.p, \sqrt{n.p.(1-p)})$ . Como $p = \frac{x} {n}$ , dividiendo x por n se tiene que:

$\widehat{p} \rightarrow N \left ( p , \sqrt{ \frac{p.(1-p)} {n}}\right )$

Si la población es finita y la extracción simultánea o sin reposición, la desviación típica va multiplicada por la siguiente expresión:

$\sqrt{ \frac{N - n} {N - 1}}$

Donde N = tamaño de la población y n = tamaño de la muestra

Ejemplo:Validación experimental (proporción)

De la población que consta de 4 circulos de color blanco, azul, rojo y verde, extrae todas las muestra posible de tamaño 2 de dos formas distintas:

a) Simultánea (sin reposición y sin que importe el orden)

b) Sucesiva sin reposición (importa el orden).

Calcula la distribución de probabilidad de la proporción muestral y con ella la esperanza y la varianza. Comprueba el resultado anterior.

Solución:

Ejercicios: Distribución proporción muestral

1. En una localidad de 6000 habitantes, la proporción de menores de 16 años es p=1/4.

a) ¿Cuál es la distribución de la proporción de menores de 16 años en muestras de 50 habitantes de dicha población?.

b) Halla la probabilidad de que, en una muestra de 50 habitantes, haya entre 14 y 20 habitantes menores de 16 años?.

Solución:

a) $p= \frac{1} {4}= 0.25 \qquad \widehat{p} \rightarrow N \left ( 0.25 , \sqrt{ \frac{0.25.(1-0.25)} {50}}\right )$

b)Siendo $n = 50 \qquad \mu = n.p = 12.5 \qquad \sigma = \sqrt{n.p.q}= \sqrt{50. \frac{1} {4}. \frac{3} {4}}= 3.06$

se tiene que: $x \rightarrow N(12.5, 3.06)$

$P(14 \le x \le 20)= P \left ( \frac{13.5-12.5} {3.06}< Z < \frac{20.5-12.5} {3.06} \right ) =$

$= P(Z < 2.61) - P(Z < 0.33) \approx 0.366$

Distribución muestral de las medias

Teorema central del límite

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