Divisibilidad

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Línea 139: Línea 139:
Descomponemos 90 en factores primos: Descomponemos 90 en factores primos:
<center><math>90=2 \cdot3^2 \cdot 5</math></center> <center><math>90=2 \cdot3^2 \cdot 5</math></center>
-Formamos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores. +Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores.
<center>[[Imagen:divisores90.png|500px]]</center>{{p}} <center>[[Imagen:divisores90.png|500px]]</center>{{p}}
Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90. Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90.

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Tabla de contenidos

Múltiplos y divisores

a\;\! es multiplo de b\;\!, y escribiremos a= \dot b, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n. En tal caso, b\;\! es divisor de a\;\! y escribiremos b|a \;\!


Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 (12= \dot 4) porque 12=4 \cdot 3. Por tanto, 4 es divisor de 12 (4|12 \;\!).


ejercicio

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores


Propiedades

  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

ejercicio

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número


Números compuestos y números primos

Tabla de primos
Aumentar
Tabla de primos
Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.
  • Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Por ejemplo, 15 es compuesto porque 15=3 \cdot 5. Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes


Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

ejercicio

Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

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Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?


Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

ejercicio

Ejemplo: Descompoción en factores primos


Halla la descomposición factorial de 90.

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Actividad Interactiva - Descomposición factorial


Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número hay que descomponer el número en factores primos. A continuación, se forman todas las combinaciones de productos posibles con esos factores primos y con sus distintas potencias.

ejercicio

Ejemplo: Obtener los divisores de un número


Obtén los divisores de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva - Descomposición factorial



ejercicio

Actividad Interactiva - Divisores de un número


Máximo común divisor

ejercicio

Actividad Interactiva - M.C.D.


Números primos entre sí

Mínimo común múltiplo

ejercicio

Actividad Interactiva - m.c.m.


Ejercicios

Ejercicios

Plantilla:Ejercicio cab

Problemas

Plantilla:Ejercicio cab

Herramientas personales
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