Divisibilidad

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==Números compuestos y números primos== ==Números compuestos y números primos==
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-Un número natural es '''compuesto''' si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número '''primo'''.}}+Un número natural es '''compuesto''' si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número '''primo'''.}}{{p}}
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 +Por ejemplo, 15 es compuesto porque <math>15=3 \cdot 5</math>. Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.{{p}}
*'''Propiedad:''' Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo. *'''Propiedad:''' Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.
-*'''Ejemplos:''' 15 es compuesto porque <math>15=3 \cdot 5</math>. Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos. 
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Tabla de contenidos

Múltiplos y divisores

a\;\! es multiplo de b\;\!, y escribiremos a= \dot b, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n. En tal caso, b\;\! es divisor de a\;\! y escribiremos b|a \;\!


Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 (12= \dot 4) porque 12=4 \cdot 3. Por tanto, 4 es divisor de 12 (4|12 \;\!).


ejercicio

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores



Propiedades

  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.


Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

ejercicio

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número



Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.

Tabla de primos
Aumentar
Tabla de primos
Por ejemplo, 15 es compuesto porque 15=3 \cdot 5. Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

  • Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.


Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes


Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

ejercicio

Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

ejercicio

Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?


Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

ejercicio

Ejemplo: Descompoción en factores primos


Halla la descomposición factorial de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva - Descomposición factorial


Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Obtener los divisores de un número


Obtén los divisores de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva - Divisores de un número



Máximo común divisor

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

ejercicio

Ejemplo: M.C.D.


Calcula el M.C.D.(24,60).

ejercicio

Actividad Interactiva - M.C.D.


Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces M.C.D.(a,b)=b.

Por ejemplo, M.C.D.(15, 30)=15.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su M.C.D. es 1.

Por ejemplo, 6 y 11 son primos entre sí.


Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.

ejercicio

Ejemplo: m.c.m.


Calcula el m.c.m.(24,60).

ejercicio

Actividad Interactiva - m.c.m.



Propiedades

  • Si a es múltiplo de b, entonces m.c.m.(a,b)=a \;\!.

  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a \cdot b.

Por ejemplo:

  • m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.
  • m.c.m.(4,11)=44, porque 4 y 11 son primos entre sí.


Ejercicios y problemas

Ejercicios

Plantilla:Ejercicio cab

Problemas

Plantilla:Ejercicio cab

Herramientas personales
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