Divisibilidad de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

ejercicio
Ejemplo

Dados los polinomios:

P(x)=(3x^3-14x^2+4x+3) \, , \quad Q(x)=(3x+1) \, , \quad C(x)=x^2-5x+3:

Se cumple que

Q(x)|P(x)\;, porque P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.

Es decir, la siguiente división es exacta:

(3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3\;

porque:

(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

ejercicio
Ejemplos

Son polinomios irreducibles, entre otros:

  • Los de primer grado: 3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;
  • Los de segundo grado sin raíces: x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

ejercicio
Ejemplos

Dados los polinomios:

P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;
Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;:

Su máximo común divisor es:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^2(x-3)\;

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

ejercicio
Ejemplos

Dados los polinomios:

P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;
Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;:


Su mínimo común múltiplo es:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Divisibilidad de polinomios

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