Ecuaciones de segundo grado

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Línea 28: Línea 28:
<center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center> <center><math>x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math></center>
donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>. donde el signo <math>(\pm)</math> significa que una solución se obtiene con el signo <math>(+)\;\!</math> y otra con el signo <math>(-)\;\!</math>.
-|demo=<center><iframe>+|demo=
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/4b_eso/Ecuaciones2grado/eg22_formula.html+1. Se divide la ecuación por <math>a\;\!</math>:
-width=690+<center><math>x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>
-height=380+ 
-name=myframe+2. Se multiplica y divide por <math>2\;\!</math> el coeficiente de la <math>x\;\!</math>:
-</iframe></center>+<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0</math></center>
 + 
 +3. Se suma alos dos miembros de la igualdad <math>\cfrac{b^2}{4a^2}</math>:
 +<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}</math></center>
 + 
 +4. Se pasa restando a la derecha <math>\cfrac{c}{a}</math>:
 +<center><math>x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>
 + 
 +5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de <math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2</math>:
 +<center><math>\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}</math></center>
 + 
 +6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
 +<center><math>x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>
 + 
 +7. Se despeja x:
 +<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}</math></center>
 + 
 +8. Se simplifica la expresión:
 +<center><math>x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math></center>
 + 
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Revisión de 18:37 4 jul 2007

Tabla de contenidos

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que se puede expresar de la forma:

ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0

que llamaremos forma general.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación de segundo grado


Pasa a forma general la ecuación:

3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!

Resolución de la ecuación de segundo grado

ejercicio

Teorema: Fórmula de la ecuación de segundo grado


Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:

x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

donde el signo (\pm) significa que una solución se obtiene con el signo (+)\;\! y otra con el signo (-)\;\!.

ejercicio

Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado


Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.

Discriminante y número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:

\triangle = b^2-4ac

por tanto:

  • Si \triangle <0 la ecuación no tiene solución.
  • Si \triangle >0 la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si \triangle =0 la ecuación tiene una solución (doble).

ejercicio

Actividad Interactiva: Discriminante de una ecuación de segundo grado


Actividad 1: Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0\;\! es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:

  • b=0\;\!: (ax^2+c=0\;\!)
En este caso las soluciones se obtienen despejando x:
ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}
  • c=0\;\!: (ax^2+bx=0\;\!)
En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:
ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas


Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Problemas

Herramientas personales
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