Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión de 11:37 18 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Estudio "no vectorial" de la recta

Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones paramétricas de la recta

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Estas expresiones reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta $r\,$ .

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:

En esta escena tenemos la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(3,2)$ y que pasa por el punto $P(3,6)\,$ .

Su ecuación vectorial es:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(3,6)+ t \cdot (3,2)$

y sus ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x=3+ 3t \\ y=6+ 2t \end{cases}$

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación continua de la recta

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la siguiente ecuación:

Ecuación continua de la recta $r\,$ , con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{x-p_2}{d_2}$

Ecuación implícita de la recta

Ecuación explícita de la recta

Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28") Sinopsis:

La función lineal.
Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
Pendiente de una recta.
Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26") Sinopsis:

Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59") Sinopsis:

Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de una recta.
Ejemplos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 ==Ecuación continua de la recta==
-{{Caja_Amarilla|texto=A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro <math>t\,</math> (siempre y cuando las dos coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(3,2)</math>}} sean distintas de cero), tenemos:
+A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro <math>t\,</math> (siempre y cuando las dos coordenadas del vector {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)</math>}} sean distintas de cero), tenemos:
-:<math>
+<center><math>
 \begin{cases}
-x=p_1+ t\cdot d_1 \rightarrow t=\cfrac{x-p_1}{d_1}
+x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1}
 \\
-y=p_2+ t\cdot d_2 \rightarrow t=\cfrac{x-p_2}{d_2}
+y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_2}{d_2}
 \end{cases}
-</math>
+</math></center>
-Igualando ambos valores de <math>t\,</math>:
+Igualando ambos valores de <math>t\,</math>, obtenemos la siguiente ecuación:
+{{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación continua''' de la recta <math>r\,</math>, con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)</math>}} y que pasa por un punto <math>P(p_1,p_2)\,</math>:
+{{Caja|contenido=<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{x-p_2}{d_2}</math>}}
-{{Caja|contenido=\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{x-p_2}{d_2}}}
-Esta expresión reciben el nombre de '''ecuación continua''' de la recta <math>r\,</math>.
 }}
 {{p}}
 ==Ecuación implícita de la recta==
 ==Ecuación explícita de la recta==

Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Vector de dirección de una recta

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Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación implícita de la recta

Ecuación explícita de la recta

Estudio "no vectorial" de la recta

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