Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión de 11:47 18 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Estudio "no vectorial" de la recta

Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones paramétricas de la recta

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones paramétricas de la recta $r\,$ , con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(3,2)$ y que pasa por el punto $P(3,6)\,$ . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:

Su ecuación vectorial es:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(3,6)+ t \cdot (3,2)$

y sus ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x=3+ 3t \\ y=6+ 2t \end{cases}$

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación continua de la recta

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la siguiente ecuación:

Ecuación continua de la recta $r\,$ , con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{x-p_2}{d_2}$

Ecuación implícita de la recta

Ecuación explícita de la recta

Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28") Sinopsis:

La función lineal.
Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
Pendiente de una recta.
Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26") Sinopsis:

Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59") Sinopsis:

Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de una recta.
Ejemplos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Vector de dirección de una recta

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación implícita de la recta

Ecuación explícita de la recta

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