Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} | x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} | ||
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- | y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_2}{d_2} | + | y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} |
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- | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{x-p_2}{d_2}</math>}} | + | {{Caja|contenido=<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}</math>}} |
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==Ecuación implícita de la recta== | ==Ecuación implícita de la recta== | ||
+ | Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que <math>d_1 \ne 0</math> y <math>d_2 \ne 0</math>) | ||
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+ | Multiplicando en cruz: | ||
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+ | *Si <math>d_2=0\,</math>, de las ecuaciones paramétricas serían, <math>x=p_1+td_1\,</math> e <math>y=p_2\,</math>, de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación <math>y=p_2\,</math>. Su ecuación implícita sería <math>y-p_2=0\,</math>. | ||
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+ | Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo <math>A=d_2\,</math>, <math>B=-d_1\,</math> y <math>C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,</math>, se tenía la ecuación implícita <math>Ax+By+C=0\,</math>. | ||
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+ | Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta | ||
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+ | Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque <math>(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0</math>, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales. | ||
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==Ecuación explícita de la recta== | ==Ecuación explícita de la recta== | ||
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Revisión de 12:29 18 mar 2009
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Tabla de contenidos |
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
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Ecuaciones paramétricas de la recta
A partir de la ecuación verctorial de la recta
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones paramétricas de la recta , con vector de dirección y que pasa por el punto .
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Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección y que pasa por el punto . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas. Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
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Ecuación continua de la recta
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector sean distintas de cero), tenemos:
Igualando ambos valores de , obtenemos la siguiente ecuación:
Ecuación continua de la recta , con vector director y que pasa por un punto :
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Ecuación implícita de la recta
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y )
Multiplicando en cruz:
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
de donde, haciendo , y , se tiene la siguiente ecuación:
Ecuación implícita de la recta :
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Antes hemos supuesto y . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si , de las ecuaciones paramétricas serían, e , de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación . Su ecuación implícita sería .
- Si , de las ecuaciones paramétricas serían, e , de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación . Su ecuación implícita sería .
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector es un vector de dirección de la recta.
- El vector es un vector perpendicular a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo , y , se tenía la ecuación implícita .
Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.Ecuación explícita de la recta
Estudio "no vectorial" de la recta
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos