Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 12:32 18 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Ecuación implícita de la recta) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 12:39 18 mar 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Ecuación implícita de la recta) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 149: | Línea 149: | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Antes hemos supuesto <math>d_1 \ne 0</math> y <math>d_2 \ne 0</math>. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos: | Antes hemos supuesto <math>d_1 \ne 0</math> y <math>d_2 \ne 0</math>. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos: | ||
- | *Si <math>d_1=0\,</math>, de las ecuaciones paramétricas serían, <math>x=p_1\,</math> e <math>y=p_2+td_1\,</math>, de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación <math>x=p_1\,</math>. Su ecuación implícita sería <math>x-p_1=0\,</math>. | + | *Si <math>d_1=0\,</math>, de las ecuaciones paramétricas serían: |
- | *Si <math>d_2=0\,</math>, de las ecuaciones paramétricas serían, <math>x=p_1+td_1\,</math> e <math>y=p_2\,</math>, de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación <math>y=p_2\,</math>. Su ecuación implícita sería <math>y-p_2=0\,</math>. | + | <center><math> |
+ | \begin{cases} | ||
+ | x=p_1 | ||
+ | \\ | ||
+ | y=p_2+ t\cdot d_2 | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación <math>x=p_1\,</math> y su ecuación implícita sería <math>x-p_1=0\,</math>. | ||
+ | *Si <math>d_2=0\,</math>, de las ecuaciones paramétricas serían: | ||
+ | <center><math>\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases} </math></center> | ||
+ | |||
+ | de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación <math>y=p_2\,</math> y su ecuación implícita sería <math>y-p_2=0\,</math>. | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dada una recta de ecuación <math>Ax+By+C=0\,</math>: | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Dada una recta de ecuación <math>Ax+By+C=0\,</math>: |
Revisión de 12:39 18 mar 2009
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
|
Ecuaciones paramétricas de la recta
A partir de la ecuación verctorial de la recta
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones paramétricas de la recta , con vector de dirección y que pasa por el punto .
|
Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección y que pasa por el punto . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas. Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
|
Ecuación continua de la recta
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector sean distintas de cero), tenemos:
Igualando ambos valores de , obtenemos la siguiente ecuación:
Ecuación continua de la recta , con vector director y que pasa por un punto :
|
Ecuación implícita de la recta
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y )
Multiplicando en cruz:
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
de donde, haciendo: , y
se tiene la siguiente ecuación:
Ecuación implícita de la recta :
|
Antes hemos supuesto y . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si , de las ecuaciones paramétricas serían:
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería .
- Si , de las ecuaciones paramétricas serían:
de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación y su ecuación implícita sería .
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector es un vector de dirección de la recta.
- El vector es un vector perpendicular a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo , y , se tenía la ecuación implícita .
Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.Ecuación explícita de la recta
Estudio "no vectorial" de la recta
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos