Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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*La pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo <math>\alpha\,</math> que forma con el eje de abcisas: <math>m=tg \, \alpha \,</math> | *La pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo <math>\alpha\,</math> que forma con el eje de abcisas: <math>m=tg \, \alpha \,</math> | ||
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- | *Sean <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_1+1,y_2)\,</math>. Sus abcisas <math>x_1\,</math> y <math>x_1 +1\,</math> difieren en 1. | + | *Sean <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_2,y_2)\,</math>, dos puntos de la recta. Tomemos <math>x_2=x_1+1\,</math>. |
- | :Veamos sus ordenadas cuanto difieren: | + | :Sus abcisas <math>x_1\,</math> y <math>x_2=x_1 +1\,</math> difieren en 1. |
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::<math>y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,</math> | ::<math>y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,</math> | ||
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Tabla de contenidos |
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
Ecuación vectorial de la recta
Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial. Actividad: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
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Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección y que pasa por el punto .
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A partir de la ecuación verctorial de la recta
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.
Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección y que pasa por el punto . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas. Actividad: Su ecuación vectorial es: y sus ecuaciones paramétricas: Modifica el parámetro y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.
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Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta con vector director y que pasa por un punto :
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A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector sean distintas de cero), tenemos:
Igualando ambos valores de , obtenemos la ecuación.Ecuación implícita de la recta
Ecuación implícita de la recta:
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Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y )
Multiplicando en cruz:
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
de donde, haciendo: , y
se tiene la ecuación.
Antes hemos supuesto y . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería .
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector es un vector de dirección de la recta.
- El vector es un vector perpendicular a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo , y , se tenía la ecuación implícita .
Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.Ecuación explícita de la recta
Ecuación explícita de la recta:
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donde se llama pendiente de la recta y ordenada en el origen.
Partiendo de la ecuación implícita
y despejando (siempre que ), tenemos:
Llamando y , tenemos la ecuación.Proposición
- La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
- La pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abcisas:
- Sean y , dos puntos de la recta. Tomemos .
- Sus abcisas y difieren en 1.
- Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:
- Por otro lado,
Estudio "no vectorial" de la recta
- La función lineal.
- Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
- Pendiente de una recta.
- Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
- Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Ejemplos.
- Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
- Ejemplos.
- Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
- Ejemplos.
- Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
- Cálculo de la tasa de variación de una recta.
- Ejemplos