Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión de 11:10 19 mar 2009

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Ecuación punto-pendiente de la recta
8 Estudio "no vectorial" de la recta

Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Deducción:

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(3,2)$ y que pasa por el punto $P(3,6)\,$ . Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:

Su ecuación vectorial es:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(3,6)+ t \cdot (3,2)$

y sus ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x=3+ 3t \\ y=6+ 2t \end{cases}$

Modifica el parámetro $t\,$ y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Deducción:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro $t\,$ e igualamos:

$\begin{cases} x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}$

Ecuación implícita de la recta

Ecuación implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\,$

Deducción:

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ )

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Multiplicando en cruz:

$d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)$

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

$d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0$

de donde, haciendo: $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

Si $d_1=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación $x=p_1\,$ y su ecuación implícita sería $x-p_1=0\,$ .

Si $d_2=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación $y=p_2\,$ y su ecuación implícita sería $y-p_2=0\,$ .

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos $A(3,1)\,$ y $B(5,4)\,$ .

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

$\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)$

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo $A(3,1)\,$ . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

$\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

$3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0$

Proposición

Dada una recta de ecuación $Ax+By+C=0\,$ :

El vector $(-B,A)\,$ es un vector de dirección de la recta.
El vector $(A,B)\,$ es un vector perpendicular a la recta.

Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$ , se tenía la ecuación implícita $Ax+By+C=0\,$ .

Entonces, el vector $(-B, A)=(d_1,d_2)\,$ , que es el vector director de la recta

Y el vector $(A,B)=(d_2, -d_1)\,$ es perpendicular a la recta porque $(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0$ , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

$y=mx+n\,$

donde $m\,$ se llama pendiente de la recta y $n\,$ ordenada en el origen.

Deducción:

Partiendo de la ecuación implícita

$Ax+By+C\,$

y despejando $y\,$ (siempre que $B \ne 0$ ), tenemos:

$y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,$

Llamando $m=-\cfrac{A}{B}$ y $n=-\cfrac{C}{B}$ , tenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}$

Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}$

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar $y\,$ :

$\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3$

Proposición

La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
Si $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es $m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
El vector de coordenadas $(1,m)\,$ es un vector de dirección de la recta.

Demostración:

1. Sean $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ , dos puntos de la rectan y tomemos $x_2=x_1+1\,$ .

Sus abcisas $x_1\,$ y $x_2=x_1 +1\,$ difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

$y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,$

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

$tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m$

3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que $m=-\cfrac{A}{B}$ , entonces:

$(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})$

Si multiplicamos ambas coordenadas por $-B\,$ , obtenemos otro vector con la misma dirección:

$-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)$

Pero en una proposición anterior vimos que el vector $(-B,A)\,$ era el vector de dirección de la recta.

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(x_0,y_0)\,$ y tiene pendiente $m\,$

$y=y_0+m(x-x_0)\,$

Deducción:

Partimos de la ecuación explícita

$y=mx+n\,$

y sustituimos el punto $P(x_0,y_0)\,$ en la ecuación y despejamos $n\,$ :

$y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0$

Sustituimos este valor de $n\,$ en la ecuación explícita y sacamos factor común $m\,$ :

$y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)$

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-5,7)\,$ y tiene pendiente m=-\cfrac{3}{4}

Solución:

Sustituimos el punto P y la pendiente m en la ecuación punto-pendiente:

$y=y_0+m(x-x_0) \quad \rightarrow \quad y=7-\cfrac{3}{4}(x+5)$

Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28") Sinopsis:

La función lineal.
Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
Pendiente de una recta.
Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49") Sinopsis:

Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26") Sinopsis:

Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59") Sinopsis:

Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de una recta.
Ejemplos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo <math>A=d_2\,</math>, <math>B=-d_1\,</math> y <math>C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,</math>, se tenía la ecuación implícita <math>Ax+By+C=0\,</math>.
-Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta
+Entonces, el vector <math>(-B, A)=(d_1,d_2)\,</math>, que es el vector director de la recta
-Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque <math>(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0</math>, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.
+Y el vector <math>(A,B)=(d_2, -d_1)\,</math> es perpendicular a la recta porque <math>(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0</math>, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.
 }}
 {{Desplegable|titulo=Deducción:{{b}}|contenido=Partiendo de la ecuación implícita
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+<center><math>Ax+By+C\,</math></center>
 y despejando <math>y\,</math> (siempre que <math>B \ne 0</math>), tenemos:
 {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 #La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
-#Si <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_2,y_2)\,</math> son dos puntos de la recta, entoces su pendiente es <math>m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
+#Si <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_2,y_2)\,</math> son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es <math>m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
 #El vector de coordenadas <math>(1,m)\,</math> es un vector de dirección de la recta.
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-'''1.''' Sean <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_2,y_2)\,</math>, dos puntos de la recta. Tomemos {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>x_2=x_1+1\,</math>}}.
+'''1.''' Sean <math>P_1(x_1,y_1)\,</math> y <math>P_2(x_2,y_2)\,</math>, dos puntos de la rectan y tomemos {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>x_2=x_1+1\,</math>}}.
-[[Imagen:pendiente.gif|right]]
 Sus abcisas <math>x_1\,</math> y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>x_2=x_1 +1\,</math>}} difieren en 1.
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 '''2.''' Por la definición de tangente de un ángulo:
-'''3.''' Antes vimos que  <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>, entonces:
+'''3.''' En la deducción de la ecuación explícita vimos que  <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>, entonces:
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-y sustituimos el punto P(x_0,y_0) en la ecuación y despejamos <math>n\,</math>:
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Ecuación punto-pendiente de la recta

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