Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión de 12:17 11 oct 2016

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
8 Ecuación punto-pendiente de la recta
9 Videotutoriales

Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Recta determinada por dos puntos Descripción:

En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.

Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}$

y como $\overrightarrow{PX}$ tiene la misma dirección que $\vec{d}$ :

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Ecuación vectorial de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Deducción:

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

Ecuaciones paramétricas de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Deducción:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro $t\,$ e igualamos:

$\begin{cases} x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}$

Ecuación implícita de la recta

Ecuación implícita de la recta:

$Ax+By+C=0\,$

Deducción:

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ )

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Multiplicando en cruz:

$d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)$

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

$d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0$

de donde, haciendo: $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

Si $d_1=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación $x=p_1\,$ y su ecuación implícita sería $x-p_1=0\,$ .

Si $d_2=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación $y=p_2\,$ y su ecuación implícita sería $y-p_2=0\,$ .

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos $A(3,1)\,$ y $B(5,4)\,$ .

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

$\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)$

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo $A(3,1)\,$ . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

$\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

$3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0$

Proposición

Dada una recta de ecuación $Ax+By+C=0\,$ :

El vector $(-B,A)\,$ es un vector de dirección de la recta.
El vector $(A,B)\,$ es un vector perpendicular a la recta. Se denomina vector normal a la recta.

Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$ , se tenía la ecuación implícita $Ax+By+C=0\,$ .

Entonces, el vector $(-B, A)=(d_1,d_2)\,$ , que es el vector director de la recta

Y el vector $(A,B)=(d_2, -d_1)\,$ es perpendicular a la recta porque $(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0$ , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Actividad interactiva: Vector normal de una recta

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a obtener la ecuación implícita de la recta

$r: \, \begin{cases} x=10+7t \\ y=1-t \end{cases}$

y a partir de ella obtendremos su vector normal.

Actividad:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=10+7t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-10}{7} \\ y=\quad 1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{-1} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-10}{7}=\cfrac{y-1}{-1}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos su ecuación implícita:

$-1(x-10)=7(y-1) \; \rightarrow \; x+7y-17=0$

Su vector normal es $\overrightarrow{d}(A,B)=(1,7)$ .

Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

$y=mx+n\,$

donde $m\,$ se llama pendiente de la recta y $n\,$ ordenada en el origen.

Deducción:

Partiendo de la ecuación implícita

$Ax+By+C\,$

y despejando $y\,$ (siempre que $B \ne 0$ ), tenemos:

$y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,$

Llamando $m=-\cfrac{A}{B}$ y $n=-\cfrac{C}{B}$ , tenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas: $\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}$

Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}$

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar $y\,$ :

$\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3$

Actividad interactiva: Ecuación explícita de una recta

Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como varía una recta $y=mx+n\,$ al modificar los valores de $m\,$ y $n\,$ .

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el primer punto verde para modificar el valor de la pendiente m y observa los cambios.

Describe lo que ocure.
¿ué tienen en común y en qué se diferencian todas las rectas con n=3?
¿Por qué crees que se le llama a m "pendiente"? ¿Qué indica su valor?

Vuelve a la gráfica inicial pulsando el botón Actualizar () y prueba a modificar, mediante el segundo deslizador, la ordenada en el origen (n)

Describe lo que ocurre.
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las rectas de ecuación $y= 0'5x+n\,$ ?
¿Por qué crees que se le llama a n "ordenada en el origen"? ¿Qué indica su valor?

Actividad 2: En esta escena podrás comparar rectas con la misma pendiente.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa las tres rectas de la figura:

¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones?

Mueve los deslizadores y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma pendiente (valor de m)?

Actividad 3: En esta escena podrás comparar rectas con la misma ordenada en el origen.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa las tres rectas de la figura:

¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones?

Mueve los deslizadores y observa los cambios.

Describe lo que ocurre.
¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma ordenada en el origen (valor de n)?

Proposición

La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
Si $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es $m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
El vector de coordenadas $(1,m)\,$ es un vector de dirección de la recta.

Demostración:

1. Sean $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ , dos puntos de la rectan y tomemos $x_2=x_1+1\,$ .

Sus abcisas $x_1\,$ y $x_2=x_1 +1\,$ difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

$y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,$

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

$tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m$

3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que $m=-\cfrac{A}{B}$ , entonces:

$(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})$

Si multiplicamos ambas coordenadas por $-B\,$ , obtenemos otro vector con la misma dirección:

$-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)$

Pero en una proposición anterior vimos que el vector $(-B,A)\,$ era el vector de dirección de la recta.

Actividad interactiva: Pendiente de una recta

Actividad 1: En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

Actividad:

Toma nota de las coordenadas de los puntos $P_1\,$ y $P_2\,$ y calcula la pendiente con la fórmula: $m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Prueba a cambiar los valores en la escena para obtener otros puntos. Por ejemplo, con los puntos $P_1(-2,5)\,$ y $P_2(1,-1)\,$ , calcula la pendiente y comprueba los resultados.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Actividad interactiva: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Actividad 1: En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos y ver sus distintas ecuaciones.

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de P y Q a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios

¿Cómo se obtiene el vector direccional de la recta que pasa por dos puntos?
¿Y su ecuación?
¿Cuál será la ecuación explícita de la recta anterior?

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(x_0,y_0)\,$ y tiene pendiente $m\,$

$y=y_0+m(x-x_0)\,$

Deducción:

Partimos de la ecuación explícita

$y=mx+n\,$

Sustituimos el punto $P(x_0,y_0)\,$ en la ecuación y despejamos $n\,$ :

$y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0$

Sustituimos este valor de $n\,$ en la ecuación explícita y sacamos factor común $m\,$ :

$y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)$

Actividad interactiva: Ecuación punto-pendiente de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-3,1)\,$ y $B(7,6)\,$ .

Actividad:

Primero calculamos la pendiente:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{6-1}{7+3}=\cfrac{1}{2}$

Con esta pendiente y uno de los puntos, por ejemplo, $A(-3,1)\,$ , obtenemos la ecuación punto-pendiente:

$y=y_0 + m \, (x-x_0) \; \rightarrow \, y=1 + \cfrac{1}{2} \, (x+3)$

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Practica con otros pares de puntos y compruébalos en la escena.

Videotutoriales

La recta en el plano (18'28") Sinopsis:

Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.

Ejercicios: Ecuaciones de la recta en el plano

Ejercicio 1 (20´50") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dado un punto y un vector director.

Ejercicio 2 (17´58") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 3 (6´48") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 4 (7´47) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.

Ejercicio 5 (5´42) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.

Ejercicio 6 (9´14) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ejercicio 7 (10´34) Sinopsis:

Dibujar rectas dadas en distintas formas.

Ejercicio 8 (11´45) Sinopsis:

Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-*Visualiza la recta que pasa por el punto (5,-2) y es paralelo al vector (-1,4)
-*Visualiza la recta paralela al eje de ordenadas y corta al otro en el punto (7,0)
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