Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión de 11:03 5 jun 2017

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Tabla de contenidos

1 Vector de dirección de una recta
2 Ecuación vectorial de la recta
3 Ecuaciones paramétricas de la recta
4 Ecuación continua de la recta
5 Ecuación implícita o general de la recta
6 Ecuación explícita de la recta
7 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
8 Ecuación punto-pendiente de la recta
9 Ejercicios
- 9.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 191)

Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Recta determinada por un punto y un vector director Descripción:

En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta.

Recta determinada por dos puntos Descripción:

En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.

Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}$

y como $\overrightarrow{PX}$ tiene la misma dirección que $\vec{d}$ :

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Ecuación vectorial de la recta (6'08") Sinopsis:

Ecuación vectorial de la recta. Ejemplos.

Ecuación vectorial de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Deducción:

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

$\begin{cases} x=5- 2t \\ y=-7+ 3t \end{cases}$

Ecuaciones paramétricas de la recta (4'45") Sinopsis:

Ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplos.

Ecuaciones paramétricas de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad: Ecuaciones paramétricas de la recta

Representa la recta:

$\begin{cases} x=2+5t \\ y=3-t \end{cases}$

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

a) plot x=2+5t, y=3-t

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Deducción:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro $t\,$ e igualamos:

$\begin{cases} x=5 -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}$

Ecuación continua de la recta (6'09") Sinopsis:

Ecuación continua de la recta. Ejemplos.

Ecuación implícita o general de la recta

Ecuación implícita o general de la recta:

$Ax+By+C=0\,$

Deducción:

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ )

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Multiplicando en cruz:

$d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)$

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

$d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0$

de donde, haciendo: $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

Si $d_1=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación $x=p_1\,$ y su ecuación implícita sería $x-p_1=0\,$ .

Si $d_2=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación $y=p_2\,$ y su ecuación implícita sería $y-p_2=0\,$ .

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos $A(3,1)\,$ y $B(5,4)\,$ .

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

$\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)$

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo $A(3,1)\,$ . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

$\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

$3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0$

Proposición

Dada una recta de ecuación $Ax+By+C=0\,$ :

El vector $(-B,A)\,$ es un vector de dirección de la recta.
El vector $(A,B)\,$ es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.

Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$ , se tenía la ecuación implícita $Ax+By+C=0\,$ .

Entonces, el vector $(-B, A)=(d_1,d_2)\,$ , que es el vector director de la recta

Y el vector $(A,B)=(d_2, -d_1)\,$ es perpendicular a la recta porque $(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0$ , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación general de la recta (5'57") Sinopsis:

Ecuación general de la recta. Ejemplos.

Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

$y=mx+n\,$

donde $m\,$ se llama pendiente de la recta y $n\,$ ordenada en el origen.

Deducción:

Partiendo de la ecuación implícita

$Ax+By+C\,$

y despejando $y\,$ (siempre que $B \ne 0$ ), tenemos:

$y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,$

Llamando $m=-\cfrac{A}{B}$ y $n=-\cfrac{C}{B}$ , tenemos la ecuación.

Ecuación explícita de la recta Descripción:

Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas: $\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}$

Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}$

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar $y\,$ :

$\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3$

Proposición

La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
Si $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es $m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
El vector de coordenadas $(1,m)\,$ es un vector de dirección de la recta.

Demostración:

1. Sean $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ , dos puntos de la rectan y tomemos $x_2=x_1+1\,$ .

Sus abcisas $x_1\,$ y $x_2=x_1 +1\,$ difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

$y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,$

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

$tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m$

3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que $m=-\cfrac{A}{B}$ , entonces:

$(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})$

Si multiplicamos ambas coordenadas por $-B\,$ , obtenemos otro vector con la misma dirección:

$-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)$

Pero en una proposición anterior vimos que el vector $(-B,A)\,$ era el vector de dirección de la recta.

Ecuación explícita de la recta (5'46") Sinopsis:

Ecuación explícita de la recta. Ejemplos.

Ecuación de la recta en sus distintas formas Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. (11'05") Sinopsis:

Ejemplo.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Actividad: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

line (3,5),(2,3)

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(x_0,y_0)\,$ y tiene pendiente $m\,$

$y=y_0+m(x-x_0)\,$

Deducción:

Partimos de la ecuación explícita

$y=mx+n\,$

Sustituimos el punto $P(x_0,y_0)\,$ en la ecuación y despejamos $n\,$ :

$y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0$

Sustituimos este valor de $n\,$ en la ecuación explícita y sacamos factor común $m\,$ :

$y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)$

Ecuación punto-pendiente de la recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).

Solución:

Primero calculamos su pendiente:

$\cfrac{4-(-1)}{7-5}=\cfrac{5}{2}$

Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:

$y=-1+\cfrac{5}{2}(x-5)$

Ecuaciones de la recta

Actividad: Ecuaciones de la recta

Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

a) line 2x+5y-4= 0

Ejercicios

Videotutoriales

Ecuación de la Recta: Vectorial, Paramétrica y Continua (18'20") Sinopsis:

Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades.

00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial).

03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo.

07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial.

08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo.

11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo.

14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.

15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso.

Ecuación de la Recta: General/Implícita y Explícita (15'39") Sinopsis:

Segundo tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación general/implícita y explícita, con ejemplos y propiedades.

00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua.
01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo.
06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo.
11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta.
12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso.

La recta en el plano (18'28") Sinopsis:

Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.

Ejercicio 1 (20´50") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dado un punto y un vector director.

Ejercicio 2 (17´58") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 3 (6´48") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 4 (7´47) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.

Ejercicio 5 (5´42) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.

Ejercicio 6 (9´14) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ejercicio 7 (10´34) Sinopsis:

Dibujar rectas dadas en distintas formas.

Ejercicio 8 (11´45) Sinopsis:

Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano

(Pág. 195)

1a,c,d, 2, 3

(Pág. 197)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Vector de dirección de una recta

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

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Ecuación explícita de la recta

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