Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Vector de dirección de una recta
3 Ecuación vectorial de la recta
4 Ecuaciones paramétricas de la recta
5 Ecuación continua de la recta
6 Ecuación implícita o general de la recta
7 Ecuación explícita de la recta
8 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
9 Ecuación punto-pendiente de la recta
10 Rectas especiales
11 Puntos y rectas
12 Ejercicios y videotutoriales
- 12.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 191)

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Introducción

Ecuaciones de la recta (9'50") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta. Condiciones para determinar una recta. Esquema de los tipos de ecuaciones

Ecuación de la recta en sus distintas formas Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta.

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Vector de dirección de una recta

Una recta $r\,$ queda determinada por un punto $P\,$ y un vector $\overrightarrow{d}$ que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
Dos puntos $A\,$ y $B\,$ de una recta determinan un vector de dirección de la misma, $\overrightarrow{AB}$ .

Recta determinada por un punto y un vector director Descripción:

En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta.

Recta determinada por dos puntos Descripción:

En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.

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Ecuación vectorial de la recta

Sea $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ un sistema de referencia del plano, y sea $r\,$ una recta determinada por un punto $P\,$ y un vector de dirección $\overrightarrow{d}$ . Cualquier punto $X\,$ de la recta queda determinado de la siguiente manera:

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX}$

y como $\overrightarrow{PX}$ tiene la misma dirección que $\vec{d}$ :

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

donde $t \in \mathbb{R}$ es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta $r\,$ .

Ecuación vectorial de la recta

Tutorial 1 (6'08") Sinopsis:

Ecuación vectorial de la recta. Ejemplos.

Tutorial 2 (9'04") Sinopsis:

Ecuación vectorial de la recta.

Ejercicios (5'46") Sinopsis:

Ejercicios sobre la ecuación vectorial de la recta.

Ecuación vectorial de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.

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Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ y que pasa por el punto $P(p_1,p_2)\,$ .

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

Deducción:

A partir de la ecuación verctorial de la recta

$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}$

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

$(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)$

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

$\begin{cases} x=5- 2t \\ y=-7+ 3t \end{cases}$

Ecuaciones paramétricas de la recta

Tutorial 1 (4'45") Sinopsis:

Ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'05") Sinopsis:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ejercicios (4'49") Sinopsis:

Ejercicios sobre las ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad: Ecuaciones paramétricas de la recta

Representa la recta:

$\begin{cases} x=2+5t \\ y=3-t \end{cases}$

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

a) plot x=2+5t, y=3-t

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Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0)$ y que pasa por un punto $P(p_1,p_2)\,$ :

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Deducción:

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro $t\,$ (siempre y cuando las dos coordenadas del vector $\overrightarrow{d}(d_1,d_2)$ sean distintas de cero), tenemos:

$\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}$

Igualando ambos valores de $t\,$ , obtenemos la ecuación.

Ejemplo: Ecuación continua de la recta

Halla la ecuación continua de la recta con vector director $\overrightarrow{d}(-2,3)$ que pasa por el punto $P(5,-7)\,$ .

Solución:

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro $t\,$ e igualamos:

$\begin{cases} x=5 -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} \\ y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-5}{-2}=\cfrac{y+7}{3}$

Ecuación continua de la recta

Tutorial 1 (6'09") Sinopsis:

Ecuación continua de la recta. Ejemplos.

Tutorial 2 (9'09") Sinopsis:

Ecuación continua de la recta

Ejercicios (6'39") Sinopsis:

Ejercicios sobre la ecuación continua de la recta

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Ecuación implícita o general de la recta

Ecuación implícita o general de la recta:

$Ax+By+C=0\,$

Deducción:

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ )

$\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}$

Multiplicando en cruz:

$d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)$

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

$d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0$

de donde, haciendo: $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto $d_1 \ne 0$ y $d_2 \ne 0$ . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

Si $d_1=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación $x=p_1\,$ y su ecuación implícita sería $x-p_1=0\,$ .

Si $d_2=0\,$ , las ecuaciones paramétricas serían:

$\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}$

de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación $y=p_2\,$ y su ecuación implícita sería $y-p_2=0\,$ .

Ejemplo: Ecuación implícita de la recta

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos $A(3,1)\,$ y $B(5,4)\,$ .

Solución:

Primero calculamos su vector de dirección:

$\overrightarrow{AB}=(5,4)-(3,1)=(2,3)$

Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo $A(3,1)\,$ . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:

$\begin{cases} x=3+ 2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-3}{2} \\ y=1+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{3} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-1}{3}$

Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:

$3 \, (x-3)=2 \, (y-1) \quad \rightarrow \quad 3x-9=2y-2 \quad \rightarrow \quad 3x-2y-7=0$

Proposición

Dada una recta de ecuación $Ax+By+C=0\,$ :

El vector $(-B,A)\,$ es un vector de dirección de la recta.
El vector $(A,B)\,$ es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.

Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo $A=d_2\,$ , $B=-d_1\,$ y $C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,$ , se tenía la ecuación implícita $Ax+By+C=0\,$ .

Entonces, el vector $(-B, A)=(d_1,d_2)\,$ , que es el vector director de la recta

Y el vector $(A,B)=(d_2, -d_1)\,$ es perpendicular a la recta porque $(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0$ , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación general de la recta

Tutorial 1 (5'57") Sinopsis:

Ecuación general de la recta. Ejemplos.

Tutorial 2 (11'09") Sinopsis:

Ecuación general de la recta

Ejercicios (12'15") Sinopsis:

Ejercicios sobre la ecuación general de la recta

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Ecuación explícita de la recta

Ecuación explícita de la recta:

$y=mx+n\,$

donde $m\,$ se llama pendiente de la recta y $n\,$ ordenada en el origen.

Deducción:

Partiendo de la ecuación implícita

$Ax+By+C\,$

y despejando $y\,$ (siempre que $B \ne 0$ ), tenemos:

$y=-\cfrac{A}{B}x-\cfrac{C}{B}\,$

Llamando $m=-\cfrac{A}{B}$ y $n=-\cfrac{C}{B}$ , tenemos la ecuación.

Ecuación explícita de la recta Descripción:

Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).

Ejemplo: Ecuación explícita de la recta

Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas: $\begin{cases} x=1-t \\ y=1+t \end{cases}$

Solución:

Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.

$\begin{cases} x=1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-1}{-1} \\ y=1+2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{2} \end{cases} \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2}$

Para obtener la ecuación explícita basta con despejar $y\,$ :

$\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3$

Proposición

La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
Si $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es $m=tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
El vector de coordenadas $(1,m)\,$ es un vector de dirección de la recta.

Demostración:

1. Sean $P_1(x_1,y_1)\,$ y $P_2(x_2,y_2)\,$ , dos puntos de la rectan y tomemos $x_2=x_1+1\,$ .

Sus abcisas $x_1\,$ y $x_2=x_1 +1\,$ difieren en 1.

Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:

$y_2-y_1 = m(x_1+1) + n -(mx_1+n) = mx_1+m +n - mx_1-n = m\,$

2. Por la definición de tangente de un ángulo:

$tg \, \alpha =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{y_2-y_1}{x_1+1-x_1}=\cfrac{m}{1}=m$

3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que $m=-\cfrac{A}{B}$ , entonces:

$(1,m)=(1, -\cfrac{A}{B})$

Si multiplicamos ambas coordenadas por $-B\,$ , obtenemos otro vector con la misma dirección:

$-B \cdot (1, -\cfrac{A}{B})=(-B,A)$

Pero en una proposición anterior vimos que el vector $(-B,A)\,$ era el vector de dirección de la recta.

Ejemplo (Pendiente de una recta) (3'47") Sinopsis:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1,1) y Q(4,4).

Ecuación explícita de la recta

Tutorial 1 (5'46") Sinopsis:

Ecuación explícita de la recta. Ejemplos.

ETutorial 2 (13'45") Sinopsis:

Ecuación explícita de la recta

Ejercicios (10'52") Sinopsis:

Ejercicios sobre la ecuación explícita de la recta

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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. (11'05") Sinopsis:

Ejemplo.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Actividad: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

line (3,5),(2,3)

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Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(x_0,y_0)\,$ y tiene pendiente $m\,$

$y=y_0+m(x-x_0)\,$

Deducción:

Partimos de la ecuación explícita

$y=mx+n\,$

Sustituimos el punto $P(x_0,y_0)\,$ en la ecuación y despejamos $n\,$ :

$y_0=mx_0+n \quad \rightarrow \quad n=y_0-mx_0$

Sustituimos este valor de $n\,$ en la ecuación explícita y sacamos factor común $m\,$ :

$y=mx+y_0-mx_0 \quad \rightarrow \quad y=y_0+m(x-x_0)$

Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).

Solución:

Primero calculamos su pendiente:

$\cfrac{4-(-1)}{7-5}=\cfrac{5}{2}$

Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:

$y=-1+\cfrac{5}{2}(x-5)$

Ecuación punto-pendiente de la recta

Tutorial (9'45") Sinopsis:

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ejercicio 1 (8'14") Sinopsis:

Ejercicios sobre la ecuación punto-pendiente de la recta

Ejercicio 2 (5'21") Sinopsis:

Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3,4) y B(5,8).

Ecuación punto-pendiente de la recta Descripción:

En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.

Ecuaciones de la recta

Actividad: Ecuaciones de la recta

Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

a) line 2x+5y-4= 0

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Rectas especiales

Rectas paralelas a los ejes (7'18") Sinopsis:

Rectas horizontales y verticales

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Puntos y rectas

Punto perteneciente a una recta (8'24") Sinopsis:

Cómo saber si un punto pertenece a una recta

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Ejercicios y videotutoriales

Ecuaciones de la recta en el plano

Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas y continua (18'20") Sinopsis:

Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades.

00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial).

03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo.

07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial.

08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo.

11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo.

14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.

15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso.

Ecuaciones de la recta: General/implícita y explícita (15'39") Sinopsis:

Segundo tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación general/implícita y explícita, con ejemplos y propiedades.

00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua.
01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo.
06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo.
11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta.
12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso.

Ecuaciones de la recta: Simétrica/canónica y punto Pendiente (15'00") Sinopsis:

Tercer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación simétrica/canónica y punto pendiente, con ejemplos y propiedades.

00:00 a 01:30: Repaso de los vídeos anteriores: Ecuación vectorial, paramétrica, continua, general/implícita y explícita.
01:30 a 06:05: Ecuación Simétrica/Canónica de la recta + Ejemplo. Propiedad de los puntos de corte con los ejes.
06:05 a 08:50: Ecuación Punto Pendiente de la recta + Ejemplo.
08:50 a 11:36: Propiedad de la pendiente m = dY/dX.
11:36 a 12:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
12:20 a 15:00: Ejemplo final de repaso.

La recta en el plano (26'15") Sinopsis:

Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.

Ejercicio 1 (20´50") Sinopsis:

Radiografía de la recta que pasa por un punto dado con vector director dado. Resuelto con todo lujo de detalles, de modo que al profesor se le caigan los pantalones al ver tu forma de trabajar.

Ejercicio 2 (17´58") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 3 (6´48") Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.

Ejercicio 4 (7´47) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.

Ejercicio 5 (5´42) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.

Ejercicio 6 (9´14) Sinopsis:

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.

Ejercicio 7 (10´34) Sinopsis:

Representa gráficamente rectas dadas en distintas formas.

Ejercicio 8 (11´45) Sinopsis:

Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.

Ejercicio 9 (9'22") Sinopsis:

Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.

Ejercicio 10 (12'02") Sinopsis:

Halla la mediana que pasan por el vértice A de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
Halla las alturas que pasan por los vértices A y B.
Halla la mediatriz del lado AB.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano

(Pág. 195)

1a,c,d, 2, 3

(Pág. 197)

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Vector de dirección de una recta

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Ecuación implícita o general de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ecuación punto-pendiente de la recta

Rectas especiales

Puntos y rectas

Ejercicios y videotutoriales

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

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-{{ai_cuerpo
+{{Video_enlace_tutomate
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena  tenemos la recta con vector de dirección {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-4,3)</math>}} y que pasa por el punto <math>P(-4,6)\,</math>. Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=4'45"
+|sinopsis=Ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Tutorial 2
+|duracion=8'05"
+|sinopsis=Ecuaciones paramétricas de la recta
+|url1=https://youtu.be/sw-53Z_USsc?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+----
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicios
+|duracion=4'49"
+|sinopsis=Ejercicios sobre las ecuaciones paramétricas de la recta
+|url1=https://youtu.be/j69HPJac9ZM?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.
+|enlace=[https://ggbm.at/kHtyAj25 Ecuaciones paramétricas de recta]
+}}
 {{p}}
-|actividad=Su ecuación vectorial es:
+{{wolfram desplegable|titulo=Ecuaciones paramétricas de la recta|contenido=
+{{wolfram
+|titulo=Actividad: ''Ecuaciones paramétricas de la recta''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=
-:<math>(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(-4,6)+ t \cdot (-4,3)</math>
+Representa la recta:
+:<math>\begin{cases}
-y sus ecuaciones paramétricas:
+x=2+5t
-:<math>
-\begin{cases}
-x=-4-4t
 \\
-y=\; \; \; 6+ 3t
+y=3-t
 \end{cases}
 </math>
-Calcula las coordenadas de los puntos para <math>t=0, \, 1, \, 2\,</math> y compruébalo en la escena:
+{{p}}
+|sol=
+Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
+:a) {{consulta|texto=plot x=2+5t, y=3-t}}
-<center><iframe>
+{{widget generico}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_5_1.html
+}}
-width=520
-height=420
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_5_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Para saber que valor del parámetro <math>t\,</math> genera un determinado punto de la recta, arrastra el punto <math>Q\,</math> hasta el punto de la recta que desees averiguar (o modifica '''Q.x''' y '''Q.y''' en la escena) y comprueba que valor de <math>t\,</math> resulta. Por ejemplo, comprueba si el punto <math>Q(-2,4.5)\,</math> pertenece o no a la recta.
 }}
 }}
-{{p}}
 ==Ecuación continua de la recta==
 |titulo=Ejemplo: ''Ecuación continua de la recta''
 |enunciado=
-:Halla la ecuación continua de la recta con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-2,3)</math>}} que pasa por el punto <math>P(5,-7)\,</math>.
+Halla la ecuación continua de la recta con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-2,3)</math>}} que pasa por el punto <math>P(5,-7)\,</math>.
 |sol=
 De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro <math>t\,</math> e igualamos:
 :<math>
 \begin{cases}
-x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2}
+x=5 -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2}
 \\
 y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3}
 }}
 {{p}}
-==Ecuación implícita de la recta==
+{{Videotutoriales|titulo=Ecuación continua de la recta|enunciado=
-{{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación implícita''' de la recta:
+{{Video_enlace_tutomate
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=6'09"
+|sinopsis=Ecuación continua de la recta. Ejemplos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=32MkfGIFlqM
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Tutorial 2
+|duracion=9'09"
+|sinopsis=Ecuación continua de la recta
+|url1=https://youtu.be/s3k2RYk3fMA?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+----
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicios
+|duracion=6'39"
+|sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación continua de la recta
+|url1=https://youtu.be/gLE-F_IakSM?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+}}
+{{p}}
+==Ecuación implícita o general de la recta==
+{{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación implícita o general''' de la recta:
 {{Caja|contenido=<math>Ax+By+C=0\,</math>}}
 |titulo=Ejemplo: ''Ecuación implícita de la recta''
 |enunciado=
-:Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos <math>A(3,1)\,</math> y <math>B(5,4)\,</math>.
+Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos <math>A(3,1)\,</math> y <math>B(5,4)\,</math>.
 |sol=
 Primero calculamos su vector de dirección:
 *El vector <math>(-B,A)\,</math> es un vector de dirección de la recta.
-*El vector <math>(A,B)\,</math> es un vector perpendicular a la recta.
+*El vector <math>(A,B)\,</math> es un vector perpendicular a la recta que se denomina '''vector normal''' a la recta.
 |demo=
 Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo <math>A=d_2\,</math>, <math>B=-d_1\,</math> y <math>C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,</math>, se tenía la ecuación implícita <math>Ax+By+C=0\,</math>.
 Entonces, el vector <math>(-B, A)=(d_1,d_2)\,</math>, que es el vector director de la recta
-Y el vector <math>(A,B)=(d_2, -d_1)\,</math> es perpendicular a la recta porque <math>(d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0</math>, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.
+Y el vector <math>(A,B)=(d_2, -d_1)\,</math> es perpendicular a la recta porque <math>(d_2, -d_1)\cdot (d_1,d_2)=0</math>, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.
 }}
 {{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Ecuación general de la recta|enunciado=
+{{Video_enlace_tutomate
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=5'57"
+|sinopsis=Ecuación general de la recta. Ejemplos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=StZgNRxnDT0
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Tutorial 2
+|duracion=11'09"
+|sinopsis=Ecuación general de la recta
+|url1=https://youtu.be/dSypnw4ms5M?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+----
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicios
+|duracion=12'15"
+|sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación general de la recta
+|url1=https://youtu.be/6bfHbUITHI4?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+}}
+{{p}}
 ==Ecuación explícita de la recta==
 {{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación explícita''' de la recta:
 Llamando <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>{{b4}}y{{b4}}<math>n=-\cfrac{C}{B}</math>, tenemos la ecuación.
 }}
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).
+|enlace=[https://ggbm.at/VJVmQ2BR Ecuación explícita de la recta]
 }}
 {{p}}
 Pero en una proposición anterior vimos que el vector <math>(-B,A)\,</math> era el vector de dirección de la recta.
 }}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Pendiente de una recta''|cuerpo=
+{{p}}
-{{ai_cuerpo
+{{Video_enlace_velazco
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la tangente que pasa por dos puntos.
+|titulo1=Ejemplo (Pendiente de una recta)
-|actividad=Toma nota de las coordenadas de los puntos <math>P_1\,</math> y <math>P_2\,</math> y calcula la pendiente por la fórmula: <math>m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
+|duracion=3'47"
+|sinopsis=Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1,1) y Q(4,4).
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=QJwN9sSAKbg&index=4&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n
+}}
+{{Videotutoriales|titulo=Ecuación explícita de la recta|enunciado=
+{{Video_enlace_tutomate
+|titulo1=Tutorial 1
+|duracion=5'46"
+|sinopsis=Ecuación explícita de la recta. Ejemplos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=75yw2lcKzdU
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=ETutorial 2
+|duracion=13'45"
+|sinopsis=Ecuación explícita de la recta
+|url1=https://youtu.be/wzvP-7KjB7M?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+----
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicios
+|duracion=10'52"
+|sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación explícita de la recta
+|url1=https://youtu.be/F1ZmUT9qO34?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+}}
+{{p}}
-Comprueba los resultados en la siguiente escena:
+==Ecuación de la recta que pasa por dos puntos==
+Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
+|enlace=[https://ggbm.at/PgBe72TZ Ecuación de la recta que pasa por dos puntos]
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
+|duracion=11'05"
+|sinopsis=Ejemplo.
+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/rectas/ecuacion-de-la-recta-en-r
+}}
+{{p}}
+{{wolfram desplegable|titulo=Ecuación de la recta que pasa por dos puntos|contenido=
+{{wolfram
+|titulo=Actividad: ''Ecuación de la recta que pasa por dos puntos''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=
+Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.
+|sol=
+Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
-<center><iframe>
+{{consulta|texto=line (3,5),(2,3)}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_3.html
-width=490
-height=410
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+{{widget generico}}
-Prueba a cambiar los valores en la escena para obtener otros puntos, por ejemplo, <math>P_1(-2,5)\,</math> y <math>P_2(1,-1)\,</math>, calcula la pendiente y comprueba los resultados.
+}}
 }}
 }}
-{{p}}
-{{p}}
 ==Ecuación punto-pendiente de la recta==
 |titulo=Ejemplo: ''Ecuación punto-pendiente de la recta''
 |enunciado=
-:Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos <math>A(-3,1)\,</math> y <math>B(7,6)\,</math>.
+Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).
+|sol=
+Primero calculamos su pendiente:
-|sol=Primero calculamos la pendiente:
+:<math>\cfrac{4-(-1)}{7-5}=\cfrac{5}{2}</math>
-:<math>m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{6-1}{7+3}=\cfrac{1}{2}</math>
+Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:
-Con esta pendiente y uno de los puntos, por ejemplo, <math>A(-3,1)\,</math>, obtenemos la ecuación punto-pendiente:
+:<math>y=-1+\cfrac{5}{2}(x-5)</math>
+}}
+{{p}}
+{{Videotutoriales|titulo=Ecuación punto-pendiente de la recta|enunciado=
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Tutorial
+|duracion=9'45"
+|sinopsis=Ecuación punto-pendiente de la recta
+|url1=https://youtu.be/tkgJn2ZE7oo?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+----
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicio 1
+|duracion=8'14"
+|sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación punto-pendiente de la recta
+|url1=https://youtu.be/_CbJG81y7a8?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+{{Video_enlace_velazco
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=5'21"
+|sinopsis=Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3,4) y B(5,8).
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=X53l8h7Kqak&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n&index=5
+}}
+}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.
+|enlace=[https://ggbm.at/KbmxXyBb Ecuación punto-pendiente de la recta]
+}}
+{{p}}
+{{wolfram desplegable|titulo=Ecuaciones de la recta|contenido=
+{{wolfram
+|titulo=Actividad: ''Ecuaciones de la recta''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado=Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente.
-:<math>y=y_0 + m \, (x-x_0) \; \rightarrow \, y=1 + \cfrac{1}{2} \, (x+3)</math>
+{{p}}
+|sol=
+Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
-Comprueba los resultados en la siguiente escena:
+:a) {{consulta|texto=line 2x+5y-4= 0}}
-<center><iframe>
+{{widget generico}}
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_2.html
+}}
-width=490
+}}
-height=410
+}}
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Practica con otros pares de puntos y compruébalos en la escena.
+==Rectas especiales==
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Rectas paralelas a los ejes
+|duracion=7'18"
+|sinopsis=Rectas horizontales y verticales
+|url1=https://youtu.be/JgcG5KvQY48?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
 }}
-{{p}}
-==Estudio "no vectorial" de la recta==
+==Puntos y rectas==
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_pildoras
-|titulo1=Las rectas
+|titulo1=Punto perteneciente a una recta
-|duracion=18'28"
+|duracion=8'24"
-|sinopsis=
+|sinopsis=Cómo saber si un punto pertenece a una recta
-*La función lineal.
+|url1=https://youtu.be/5cOBLwQ_5HU?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
-*Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
-*Pendiente de una recta.
-*Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
-*Rectas perpendiculares al eje de abscisas.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0121.html
 }}
-{{p}}
-{{Video_enlace2
+==Ejercicios y videotutoriales==
-|titulo1=Recta que pasa por dos puntos conocidos
+{{Videotutoriales|titulo=Ecuaciones de la recta en el plano |enunciado=
-|duracion=16'01"
+{{Video_enlace_clasematicas
-|sinopsis=
+|titulo1=Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas y continua
-*Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
+|duracion=18'20"
-*Ejemplos.
+|sinopsis=Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0122.htm
+*00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial).
+*03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo.
+*07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial.
+*08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo.
+*11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo.
+*14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
+*15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso.
+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/01-la-recta-en-el-plano#.VC7D8Ra7ZV8
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_clasematicas
-{{Video_enlace2
+|titulo1=Ecuaciones de la recta: General/implícita y explícita
-|titulo1=Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida
+|duracion=15'39"
-|duracion=3'49"
+|sinopsis=Segundo tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación general/implícita y explícita, con ejemplos y propiedades.
-|sinopsis=
-*Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
+*00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua.
-*Ejemplos.
+*01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0123.htm
+*06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo.
+*11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta.
+*12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
+*13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=vp3E-piWQqY&list=PLZNmE9BEzVIkD-P5LfyL3AavCEI_B17Lw&index=2
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_clasematicas
-{{Video_enlace2
+|titulo1=Ecuaciones de la recta: Simétrica/canónica y punto Pendiente
-|titulo1=Recta con otras notaciones
+|duracion=15'00"
-|duracion=5'26"
+|sinopsis=Tercer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación simétrica/canónica y punto pendiente, con ejemplos y propiedades.
-|sinopsis=
-*Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
+*00:00 a 01:30: Repaso de los vídeos anteriores: Ecuación vectorial, paramétrica, continua, general/implícita y explícita.
-*Ejemplos.
+*01:30 a 06:05: Ecuación Simétrica/Canónica de la recta + Ejemplo. Propiedad de los puntos de corte con los ejes.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0124.htm
+*06:05 a 08:50: Ecuación Punto Pendiente de la recta + Ejemplo.
+*08:50 a 11:36: Propiedad de la pendiente m = dY/dX.
+*11:36 a 12:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
+*12:20 a 15:00: Ejemplo final de repaso.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=11PDD6jv5oo&list=PLZNmE9BEzVIkD-P5LfyL3AavCEI_B17Lw&index=3
 }}
-{{p}}
+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2
+|titulo1=La recta en el plano
-|titulo1=Paralelismo y perpendicularidad de rectas
+|duracion=26'15"
-|duracion=9'59"
+|sinopsis=Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.
-|sinopsis=
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6eln_IycmAg&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=1
-*Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
-*Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0125.htm
 }}
-{{p}}
+----
-{{Video_enlace2
+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Tasa de variación de una recta
+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=6'50"
+|duracion=20´50"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=e_0Rag1-CHM&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=2
+|sinopsis=Radiografía de la recta que pasa por un punto dado con vector director dado.
+Resuelto con todo lujo de detalles, de modo que al profesor se le caigan los pantalones al ver tu forma de trabajar.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 2
+|duracion=17´58"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Shfvwi9StPU&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=3
+|sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 3
+|duracion=6´48"
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=YdGYnsW3uUw&index=4&list=PLF10C7CAD9DEE955C
+|sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 4
+|duracion=7´47
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=jFLgUzxGY0A&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=5
+|sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 5
+|duracion=5´42
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EQmcKFx1tXg&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=6
+|sinopsis=Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 6
+|duracion=9´14
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=phDEomKt2Wg&index=7&list=PLF10C7CAD9DEE955C
+|sinopsis=Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 7
+|duracion=10´34
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=ntyQohHlmGY&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=8
+|sinopsis=Representa gráficamente rectas dadas en distintas formas.
+}}
+{{Video_enlace_fonemato
+|titulo1=Ejercicio 8
+|duracion=11´45
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=w0GLyYdQpWs&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=9
+|sinopsis=Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicio 9
+|duracion=9'22"
+|sinopsis=Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
+|url1=https://youtu.be/TqygExZXlmE?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
+{{Video_enlace_pildoras
+|titulo1=Ejercicio 10
+|duracion=12'02"
 |sinopsis=
-*Cálculo de la tasa de variación de una recta.
+# Halla la mediana que pasan por el vértice A de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
-*Ejemplos
+# Halla las alturas que pasan por los vértices A y B.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0126.htm
+# Halla la mediatriz del lado AB.
+|url1=https://youtu.be/NaUk6f2q9_g?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV
+}}
 }}
-{{p}}
+===Ejercicios propuestos===
+{{ejercicio
+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones de la recta en el plano''
+|cuerpo=
+(Pág. 195)
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1a,c,d, 2, 3
+(Pág. 197)
+[[Imagen:red_star.png|12px]] 1
+}}
+{{p}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]