Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)
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+ | __TOC__ | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | (Pág. 191) | ||
+ | ==Introducción== | ||
+ | {{Video_enlace_pildoras | ||
+ | |titulo1=Ecuaciones de la recta | ||
+ | |duracion=9'50" | ||
+ | |sinopsis=Ecuaciones de la recta. Condiciones para determinar una recta. Esquema de los tipos de ecuaciones | ||
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+ | {{p}} | ||
+ | {{Geogebra_enlace | ||
+ | |descripcion=En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta. | ||
+ | |enlace=[https://ggbm.at/TBmMcStU Ecuación de la recta en sus distintas formas] | ||
+ | }} | ||
+ | |||
==Vector de dirección de una recta== | ==Vector de dirección de una recta== | ||
{{Caja_Amarilla|texto= | {{Caja_Amarilla|texto= | ||
*Una recta <math>r\,</math> queda determinada por un punto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>P\,</math>}} y un vector {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos '''vector de dirección''' de la recta. | *Una recta <math>r\,</math> queda determinada por un punto {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>P\,</math>}} y un vector {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{d}</math>}} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos '''vector de dirección''' de la recta. | ||
*Dos puntos {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>A\,</math>}} y {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B\,</math>}} de una recta determinan un vector de dirección de la misma, {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}. | *Dos puntos {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>A\,</math>}} y {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>B\,</math>}} de una recta determinan un vector de dirección de la misma, {{sube|porcentaje=+35%|contenido=<math>\overrightarrow{AB}</math>}}. | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Geogebra_enlace | ||
+ | |descripcion=En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta. | ||
+ | |enlace=[https://ggbm.at/CEdXZ3W6 Recta determinada por un punto y un vector director] | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
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Esta expresión vectorial recibe el nombre de '''ecuación vectorial''' de la recta <math>r\,</math>. | Esta expresión vectorial recibe el nombre de '''ecuación vectorial''' de la recta <math>r\,</math>. | ||
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{Ejemplo | ||
+ | |titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones paramétricas de la recta'' | ||
+ | |enunciado= | ||
+ | Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-2,3)</math>}} que pasa por el punto <math>P(5,-7)\,</math>. | ||
+ | |sol= | ||
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+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_pildoras | ||
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+ | |titulo1=Ejercicios | ||
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+ | }} | ||
+ | }} | ||
{{Geogebra_enlace | {{Geogebra_enlace | ||
|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano. | |descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano. | ||
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{wolfram desplegable|titulo=Ecuaciones paramétricas de la recta|contenido= | ||
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+ | Representa la recta: | ||
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+ | Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: | ||
+ | |||
+ | :a) {{consulta|texto=plot x=2+5t, y=3-t}} | ||
+ | |||
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+ | }} | ||
+ | }} | ||
==Ecuación continua de la recta== | ==Ecuación continua de la recta== | ||
Línea 93: | Línea 195: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Ecuación continua de la recta'' | |titulo=Ejemplo: ''Ecuación continua de la recta'' | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :Halla la ecuación continua de la recta con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-2,3)</math>}} que pasa por el punto <math>P(5,-7)\,</math>. | + | Halla la ecuación continua de la recta con vector director {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(-2,3)</math>}} que pasa por el punto <math>P(5,-7)\,</math>. |
|sol= | |sol= | ||
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro <math>t\,</math> e igualamos: | De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro <math>t\,</math> e igualamos: | ||
Línea 99: | Línea 201: | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
- | x=5+ -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} | + | x=5 -2t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-5}{-2} |
\\ | \\ | ||
y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} | y=-7+ 3t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y+7}{3} | ||
Línea 107: | Línea 209: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Ecuación implícita de la recta== | + | {{Videotutoriales|titulo=Ecuación continua de la recta|enunciado= |
- | {{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación implícita''' de la recta: | + | {{Video_enlace_tutomate |
+ | |titulo1=Tutorial 1 | ||
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+ | }} | ||
+ | {{Video_enlace_pildoras | ||
+ | |titulo1=Tutorial 2 | ||
+ | |duracion=9'09" | ||
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+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | |||
+ | ==Ecuación implícita o general de la recta== | ||
+ | {{Caja_Amarilla|texto='''Ecuación implícita o general''' de la recta: | ||
{{Caja|contenido=<math>Ax+By+C=0\,</math>}} | {{Caja|contenido=<math>Ax+By+C=0\,</math>}} | ||
Línea 151: | Línea 276: | ||
|titulo=Ejemplo: ''Ecuación implícita de la recta'' | |titulo=Ejemplo: ''Ecuación implícita de la recta'' | ||
|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos <math>A(3,1)\,</math> y <math>B(5,4)\,</math>. | + | Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos <math>A(3,1)\,</math> y <math>B(5,4)\,</math>. |
|sol= | |sol= | ||
Primero calculamos su vector de dirección: | Primero calculamos su vector de dirección: | ||
Línea 176: | Línea 301: | ||
*El vector <math>(-B,A)\,</math> es un vector de dirección de la recta. | *El vector <math>(-B,A)\,</math> es un vector de dirección de la recta. | ||
- | *El vector <math>(A,B)\,</math> es un vector perpendicular a la recta. Se denomina '''vector normal''' a la recta. | + | *El vector <math>(A,B)\,</math> es un vector perpendicular a la recta que se denomina '''vector normal''' a la recta. |
|demo= | |demo= | ||
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo <math>A=d_2\,</math>, <math>B=-d_1\,</math> y <math>C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,</math>, se tenía la ecuación implícita <math>Ax+By+C=0\,</math>. | Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo <math>A=d_2\,</math>, <math>B=-d_1\,</math> y <math>C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,</math>, se tenía la ecuación implícita <math>Ax+By+C=0\,</math>. | ||
Línea 186: | Línea 311: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Vector normal de una recta''|cuerpo= | + | {{Videotutoriales|titulo=Ecuación general de la recta|enunciado= |
- | {{ai_cuerpo | + | {{Video_enlace_tutomate |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a obtener la ecuación implícita de la recta | + | |titulo1=Tutorial 1 |
- | + | |duracion=5'57" | |
- | <center><math>r: \, | + | |sinopsis=Ecuación general de la recta. Ejemplos. |
- | \begin{cases} | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=StZgNRxnDT0 |
- | x=10+7t | + | }} |
- | \\ | + | {{Video_enlace_pildoras |
- | y=1-t | + | |titulo1=Tutorial 2 |
- | \end{cases} | + | |duracion=11'09" |
- | </math></center> | + | |sinopsis=Ecuación general de la recta |
- | + | |url1=https://youtu.be/dSypnw4ms5M?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV | |
- | y a partir de ella obtendremos su vector normal. | + | }} |
- | {{p}} | + | ---- |
- | |actividad= | + | {{Video_enlace_pildoras |
- | Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua. | + | |titulo1=Ejercicios |
- | + | |duracion=12'15" | |
- | :<math> | + | |sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación general de la recta |
- | \begin{cases} | + | |url1=https://youtu.be/6bfHbUITHI4?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV |
- | x=10+7t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-10}{7} | + | |
- | \\ | + | |
- | y=\quad 1-t \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-1}{-1} | + | |
- | \end{cases} | + | |
- | \quad \rightarrow \quad \cfrac{x-10}{7}=\cfrac{y-1}{-1} | + | |
- | </math> | + | |
- | + | ||
- | Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos su ecuación implícita: | + | |
- | + | ||
- | :<math>-1(x-10)=7(y-1) \; \rightarrow \; x+7y-17=0</math> | + | |
- | + | ||
- | Su vector normal es {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\overrightarrow{d}(A,B)=(1,7)</math>}}. | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_1.html | + | |
- | width=520 | + | |
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- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_3_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
}} | }} | ||
}} | }} | ||
Línea 247: | Línea 350: | ||
Llamando <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>{{b4}}y{{b4}}<math>n=-\cfrac{C}{B}</math>, tenemos la ecuación. | Llamando <math> m=-\cfrac{A}{B}</math>{{b4}}y{{b4}}<math>n=-\cfrac{C}{B}</math>, tenemos la ecuación. | ||
}} | }} | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{Geogebra_enlace | ||
+ | |descripcion=Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen). | ||
+ | |enlace=[https://ggbm.at/VJVmQ2BR Ecuación explícita de la recta] | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 274: | Línea 382: | ||
:<math>\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3</math> | :<math>\cfrac{x-1}{-1}=\cfrac{y-1}{2} \quad \rightarrow \quad 2x-2=-y+1 \quad \rightarrow \quad y=-2x+3</math> | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación explícita de una recta''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena podrás comprobar como varía una recta <math>y=mx+n\,</math> al modificar los valores de <math>m\,</math> y <math>n\,</math>. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad= | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | Desliza el primer punto verde para modificar el valor de la pendiente '''m''' y observa los cambios. | ||
- | |||
- | *Describe lo que ocure. | ||
- | *¿ué tienen en común y en qué se diferencian todas las rectas con '''n'''=3? | ||
- | *¿Por qué crees que se le llama a '''m''' "pendiente"? ¿Qué indica su valor? | ||
- | |||
- | Vuelve a la gráfica inicial pulsando el botón Actualizar ([[Imagen:actualizar.jpg]]) y prueba a modificar, mediante el segundo deslizador, la ordenada en el origen ('''n''') | ||
- | |||
- | *Describe lo que ocurre. | ||
- | *¿Qué tienen en común y en qué se diferencian las rectas de ecuación <math>y= 0'5x+n\,</math> ? | ||
- | *¿Por qué crees que se le llama a '''n''' "ordenada en el origen"? ¿Qué indica su valor? | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2:''' En esta escena podrás comparar rectas con la misma pendiente. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad= | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita2.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | Observa las tres rectas de la figura: | ||
- | |||
- | *¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones? | ||
- | |||
- | Mueve los deslizadores y observa los cambios. | ||
- | |||
- | *Describe lo que ocurre. | ||
- | *¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma pendiente (valor de '''m''')? | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 3:''' En esta escena podrás comparar rectas con la misma ordenada en el origen. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad= | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita3.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_ecuacion_explicita3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | Observa las tres rectas de la figura: | ||
- | |||
- | *¿Qué tienen en común y en qué se diferencian? ¿y sus correspondientes ecuaciones? | ||
- | |||
- | Mueve los deslizadores y observa los cambios. | ||
- | |||
- | *Describe lo que ocurre. | ||
- | *¿Cómo son las gráficas de todas las rectas con la misma ordenada en el origen (valor de '''n''')? | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 384: | Línea 414: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Pendiente de una recta''|cuerpo= | + | {{Video_enlace_velazco |
- | {{ai_cuerpo | + | |titulo1=Ejemplo (Pendiente de una recta) |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena puedes comprobar la segunda de las proposiciones anteriores sobre la pendiente de la recta que pasa por dos puntos. | + | |duracion=3'47" |
- | |actividad=Toma nota de las coordenadas de los puntos <math>P_1\,</math> y <math>P_2\,</math> y calcula la pendiente con la fórmula: <math>m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math> | + | |sinopsis=Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1,1) y Q(4,4). |
- | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=QJwN9sSAKbg&index=4&list=PLPrT9FThiZ6QfKolkw-a6qholvFwVde1n | |
- | Comprueba los resultados en la siguiente escena: | + | }} |
- | + | {{Videotutoriales|titulo=Ecuación explícita de la recta|enunciado= | |
- | + | {{Video_enlace_tutomate | |
- | <center><iframe> | + | |titulo1=Tutorial 1 |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_3.html | + | |duracion=5'46" |
- | width=490 | + | |sinopsis=Ecuación explícita de la recta. Ejemplos. |
- | height=410 | + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=75yw2lcKzdU |
- | name=myframe | + | }} |
- | </iframe></center> | + | {{Video_enlace_pildoras |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_6_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |titulo1=ETutorial 2 |
- | + | |duracion=13'45" | |
- | + | |sinopsis=Ecuación explícita de la recta | |
- | Prueba a cambiar los valores en la escena para obtener otros puntos. Por ejemplo, con los puntos <math>P_1(-2,5)\,</math> y <math>P_2(1,-1)\,</math>, calcula la pendiente y comprueba los resultados. | + | |url1=https://youtu.be/wzvP-7KjB7M?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV |
+ | }} | ||
+ | ---- | ||
+ | {{Video_enlace_pildoras | ||
+ | |titulo1=Ejercicios | ||
+ | |duracion=10'52" | ||
+ | |sinopsis=Ejercicios sobre la ecuación explícita de la recta | ||
+ | |url1=https://youtu.be/F1ZmUT9qO34?list=PLwCiNw1sXMSAMNnvvsBGpp778cpwcoDuV | ||
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 410: | Línea 446: | ||
Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta. | Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta. | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación de la recta que pasa por dos puntos''|cuerpo= | + | {{Geogebra_enlace |
- | {{ai_cuerpo | + | |descripcion=En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En esta escena podrás comprobar como una recta queda determinada por dos puntos y ver sus distintas ecuaciones. | + | |enlace=[https://ggbm.at/PgBe72TZ Ecuación de la recta que pasa por dos puntos] |
+ | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | |actividad= | + | {{Video_enlace_unicoos |
+ | |titulo1=Ejemplo: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. | ||
+ | |duracion=11'05" | ||
+ | |sinopsis=Ejemplo. | ||
+ | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/rectas/ecuacion-de-la-recta-en-r | ||
+ | }} | ||
+ | {{p}} | ||
+ | {{wolfram desplegable|titulo=Ecuación de la recta que pasa por dos puntos|contenido= | ||
+ | {{wolfram | ||
+ | |titulo=Actividad: ''Ecuación de la recta que pasa por dos puntos'' | ||
+ | |cuerpo= | ||
+ | {{ejercicio_cuerpo | ||
+ | |enunciado= | ||
- | <center><iframe> | + | Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes. |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_determinacion2.html | + | |sol= |
- | width=780 | + | Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: |
- | height=460 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/recta_determinacion2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | Observa los diferentes elementos de la figura. Cambia las posiciones de''' P''' y '''Q''' a (2,-1) y (6,2) respectivamente y observa los cambios | + | {{consulta|texto=line (3,5),(2,3)}} |
- | *¿Cómo se obtiene el vector direccional de la recta que pasa por dos puntos? | + | {{widget generico}} |
- | *¿Y su ecuación? | + | }} |
- | *¿Cuál será la ecuación explícita de la recta anterior? | + | |
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | {{p}} | ||
==Ecuación punto-pendiente de la recta== | ==Ecuación punto-pendiente de la recta== | ||
Línea 454: | Línea 497: | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Ecuación punto-pendiente de la recta''|cuerpo= | + | {{Ejemplo |
- | {{ai_cuerpo | + | |titulo=Ejemplo: ''Ecuación punto-pendiente de la recta'' |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena vamos a hallar la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos <math>A(-3,1)\,</math> y <math>B(7,6)\,</math>. | + | |enunciado= |
+ | Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4). | ||
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+ | Primero calculamos su pendiente: | ||
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+ | Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: | ||
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- | Comprueba los resultados en la siguiente escena: | + | ==Rectas especiales== |
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- | <center><iframe> | + | ==Puntos y rectas== |
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+ | |sinopsis=Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades. | ||
- | Practica con otros pares de puntos y compruébalos en la escena. | + | *00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial). |
+ | |||
+ | *03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo. | ||
+ | |||
+ | *07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial. | ||
+ | |||
+ | *08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo. | ||
+ | |||
+ | *11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo. | ||
+ | |||
+ | *14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
+ | |||
+ | *15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso. | ||
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+ | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/01-la-recta-en-el-plano#.VC7D8Ra7ZV8 | ||
}} | }} | ||
+ | {{Video_enlace_clasematicas | ||
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+ | |||
+ | *00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua. | ||
+ | *01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo. | ||
+ | *06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo. | ||
+ | *11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta. | ||
+ | *12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
+ | *13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso. | ||
+ | |||
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+ | |titulo1=Ecuaciones de la recta: Simétrica/canónica y punto Pendiente | ||
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+ | |sinopsis=Tercer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación simétrica/canónica y punto pendiente, con ejemplos y propiedades. | ||
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+ | *06:05 a 08:50: Ecuación Punto Pendiente de la recta + Ejemplo. | ||
+ | *08:50 a 11:36: Propiedad de la pendiente m = dY/dX. | ||
+ | *11:36 a 12:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas. | ||
+ | *12:20 a 15:00: Ejemplo final de repaso. | ||
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|titulo1=La recta en el plano | |titulo1=La recta en el plano | ||
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|sinopsis=Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita. | |sinopsis=Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita. | ||
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|titulo1=Ejercicio 1 | |titulo1=Ejercicio 1 | ||
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+ | Resuelto con todo lujo de detalles, de modo que al profesor se le caigan los pantalones al ver tu forma de trabajar. | ||
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+ | # Halla las alturas que pasan por los vértices A y B. | ||
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[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] |
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(Pág. 191)
Introducción
Ecuaciones de la recta. Condiciones para determinar una recta. Esquema de los tipos de ecuaciones
En esta escena podrás ver las distintas ecuaciones de la recta.
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos y de una recta determinan un vector de dirección de la misma, .
En esta escena podrás ver como un punto del plano y un vector director determinan una recta.
En esta escena podrás ver como dos puntos del plano determinan una recta.
Ecuación vectorial de la recta
Ecuación vectorial de la recta. Ejemplos.
Ecuación vectorial de la recta.
Ejercicios sobre la ecuación vectorial de la recta.
En esta escena podrás ver como se representa la ecuación vectorial de una recta en el plano.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta con vector de dirección y que pasa por el punto .
|
A partir de la ecuación verctorial de la recta
si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.Ejemplo: Ecuaciones paramétricas de la recta
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta con vector director que pasa por el punto .
Ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplos.
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ejercicios sobre las ecuaciones paramétricas de la recta
En esta escena podrás ver como se representan las ecuaciones paramétricas de una recta en el plano.
Ecuación continua de la recta
Ecuación continua de la recta con vector director y que pasa por un punto :
|
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro (siempre y cuando las dos coordenadas del vector sean distintas de cero), tenemos:
Igualando ambos valores de , obtenemos la ecuación.Ejemplo: Ecuación continua de la recta
Halla la ecuación continua de la recta con vector director que pasa por el punto .
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e igualamos:
Ecuación continua de la recta. Ejemplos.
Ecuación continua de la recta
Ejercicios sobre la ecuación continua de la recta
Ecuación implícita o general de la recta
Ecuación implícita o general de la recta:
|
Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que y )
Multiplicando en cruz:
y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:
de donde, haciendo: , y
se tiene la ecuación.
Antes hemos supuesto y . Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación y su ecuación implícita sería .
- Si , las ecuaciones paramétricas serían:
Ejemplo: Ecuación implícita de la recta
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos y .
Primero calculamos su vector de dirección:
Obtenemos las ecuaciones paramétricas con ese vector director y con uno de los dos puntos, por ejemplo . A partir de éstas obtenemos la ecuación continua:
Multiplicando en cruz y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, obtenemos la ecuación implícita:
Proposición
Dada una recta de ecuación :
- El vector es un vector de dirección de la recta.
- El vector es un vector perpendicular a la recta que se denomina vector normal a la recta.
Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo , y , se tenía la ecuación implícita .
Entonces, el vector , que es el vector director de la recta
Y el vector es perpendicular a la recta porque , y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.Ecuación general de la recta. Ejemplos.
Ecuación general de la recta
Ejercicios sobre la ecuación general de la recta
Ecuación explícita de la recta
Ecuación explícita de la recta:
|
donde se llama pendiente de la recta y ordenada en el origen.
Partiendo de la ecuación implícita
y despejando (siempre que ), tenemos:
Llamando y , tenemos la ecuación.Estudio del comportamiento de la recta y=mx+n atendiendo a los parámetros m (pendiente) y n (ordenada en el origen).
Ejemplo: Ecuación explícita de la recta
- Halla la ecuación explícita de la recta de ecuaciones paramétricas:
Partimos de las ecuaciones paramétricas y obtenemos su ecuación continua.
Para obtener la ecuación explícita basta con despejar :
Proposición
- La pendiente de una recta mide el incremento de la ordenada cuando la abcisa se incrementa en una unidad.
- Si y son dos puntos de la recta, entonces su pendiente es
- El vector de coordenadas es un vector de dirección de la recta.
1. Sean y , dos puntos de la rectan y tomemos .
Sus abcisas y difieren en 1.
Veamos sus ordenadas en cuanto difieren:
2. Por la definición de tangente de un ángulo:
3. En la deducción de la ecuación explícita vimos que , entonces:
Si multiplicamos ambas coordenadas por , obtenemos otro vector con la misma dirección:
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1,1) y Q(4,4).
Ecuación explícita de la recta. Ejemplos.
Ecuación explícita de la recta
Ejercicios sobre la ecuación explícita de la recta
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sabemos que dos puntos determinan un vector de dirección. Con ese vector de dirección y uno de los dos puntos podemos obtener la ecuación de la recta.
En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ejemplo.
Actividad: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Halla y representa la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (2,3). Averigua su pendiente y los puntos de corte con los ejes.
Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: line (3,5),(2,3) |
Ecuación punto-pendiente de la recta
Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente
|
Partimos de la ecuación explícita
Sustituimos el punto en la ecuación y despejamos :
Sustituimos este valor de en la ecuación explícita y sacamos factor común :
Ejemplo: Ecuación punto-pendiente de la recta
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5,-1) y B(7,4).
Primero calculamos su pendiente:
Usando el punto A(5,-1), la ecuación punto-pendiente queda así:
Ecuación punto-pendiente de la recta
Ejercicios sobre la ecuación punto-pendiente de la recta
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos A(3,4) y B(5,8).
En esta escena podrás ver como se obtiene la ecuación punto-pendientede la recta.
Actividad: Ecuaciones de la recta Representa la recta de ecuación 2x+5y-4=0. Exprésala en su forma punto-pendiente y explícita. Halla los puntos de corte con los ejes y su pendiente. Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:
|
Rectas especiales
Rectas horizontales y verticales
Puntos y rectas
Cómo saber si un punto pertenece a una recta
Ejercicios y videotutoriales
Primer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación vectorial, paramétrica y continua, con ejemplos y propiedades.
- 00:00 a 03:15: Símil entre dibujar una recta en una hoja y su expresión matemática en forma analítica (ecuación vectorial).
- 03:15 a 07:00: Ecuación Vectorial de una recta + Ejemplo.
- 07:00 a 08:50: Uso de la herramienta de DESMOS (https://www.desmos.com/calculator) para la explicación visual de la ecuación vectorial.
- 08:50 a 11:25: Ecuación Paramétrica de una recta + Ejemplo.
- 11:25 a 14:40: Ecuación Continua de una recta + Ejemplo.
- 14:40 a 15:55: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
- 15:55 a 18:20: Ejemplo final de repaso.
Segundo tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación general/implícita y explícita, con ejemplos y propiedades.
- 00:00 a 01:25: Repaso del vídeo anterior: Ecuación vectorial, paramétrica y continua.
- 01:25 a 06:20: Ecuación General o Implícita y vector ortogonal a la recta + Ejemplo.
- 06:20 a 11:20: Ecuación Explícita y la pendiente de la recta + Ejemplo.
- 11:20 a 12:55: Ejemplo adicional en el uso de la propiedad de la pendiente de la recta.
- 12:55 a 13:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
- 13:20 a 15:39: Ejemplo final de repaso.
Tercer tutorial dedicado a las ecuaciones (analíticas) de la recta. En este tutorial se explica la ecuación simétrica/canónica y punto pendiente, con ejemplos y propiedades.
- 00:00 a 01:30: Repaso de los vídeos anteriores: Ecuación vectorial, paramétrica, continua, general/implícita y explícita.
- 01:30 a 06:05: Ecuación Simétrica/Canónica de la recta + Ejemplo. Propiedad de los puntos de corte con los ejes.
- 06:05 a 08:50: Ecuación Punto Pendiente de la recta + Ejemplo.
- 08:50 a 11:36: Propiedad de la pendiente m = dY/dX.
- 11:36 a 12:20: Resumen de las ecuaciones de la recta trabajadas.
- 12:20 a 15:00: Ejemplo final de repaso.
Una recta del plano puede identificarse de las diversas formas que explicamos en este vídeo: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuación continua, ecuación punto-pendiente, ecuación explícita.
Radiografía de la recta que pasa por un punto dado con vector director dado. Resuelto con todo lujo de detalles, de modo que al profesor se le caigan los pantalones al ver tu forma de trabajar.
Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.
Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dadas sus ecuaciones paramétricas.
Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación continua.
Ecuaciones de la recta en sus distintas formas dada su ecuación explícita.
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados.
Representa gráficamente rectas dadas en distintas formas.
Hallar el baricentro de un triángulo conocidos sus 3 vértices.
Halla las ecuaciones de los lados de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
- Halla la mediana que pasan por el vértice A de un triángulo conocidas las coordenadas de los vértices.
- Halla las alturas que pasan por los vértices A y B.
- Halla la mediatriz del lado AB.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Ecuaciones de la recta en el plano |