Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Vector de dirección de una recta

  • Una recta r\, queda determinada por un punto P\, y un vector \overrightarrow{d} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
  • Dos puntos A\, y B\, de una recta determinan un vector de dirección de la misma, \overrightarrow{AB}.

Ecuación vectorial de la recta

Sea \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\} un sistema de referencia del plano, y sea r\, una recta determinada por un punto P\, y un vector de dirección \overrightarrow{d}. Cualquier punto X\, de la recta queda determinado de la siguiente manera:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

donde t \in \mathbb{R} es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:
Modifica el parámetro t\, y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.


Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones paramétricas de la recta

A partir de la ecuación verctorial de la recta

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)

Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones paramétricas de la recta r\,, con vector de dirección \overrightarrow{d}(d_1,d_2) y que pasa por el punto P(p_1,p_2)\,.


\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(3,2) y que pasa por el punto P(3,6)\,. Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:
Su ecuación vectorial es:
(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(3,6)+ t \cdot (3,2)

y sus ecuaciones paramétricas:

\begin{cases} x=3+ 3t \\ y=6+ 2t \end{cases}

Modifica el parámetro t\, y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.


Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación continua de la recta

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro t\, (siempre y cuando las dos coordenadas del vector \overrightarrow{d}(d_1,d_2) sean distintas de cero), tenemos:

\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}

Igualando ambos valores de t\,, obtenemos la siguiente ecuación:

Ecuación continua de la recta r\,, con vector director \overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0) y que pasa por un punto P(p_1,p_2)\,:


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Ecuación implícita de la recta

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0)


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Multiplicando en cruz:

d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0


de donde, haciendo A=d_2\,,     B=-d_1\, y C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,, se tiene la siguiente ecuación:

Ecuación implícita de la recta r\,:

Ax+By+C=0\,

Antes hemos supuesto d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

  • Si d_1=0\,, de las ecuaciones paramétricas serían, x=p_1\, e y=p_2+td_1\,, de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación x=p_1\,. Su ecuación implícita sería x-p_1=0\,.
  • Si d_2=0\,, de las ecuaciones paramétricas serían, x=p_1+td_1\, e y=p_2\,, de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación y=p_2\,. Su ecuación implícita sería y-p_2=0\,.

ejercicio

Proposición

Dada una recta de ecuación Ax+By+C=0\,:

  • El vector (-B,A)\, es un vector de dirección de la recta.
  • El vector (A,B)\, es un vector perpendicular a la recta.
Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo A=d_2\,, B=-d_1\, y C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,, se tenía la ecuación implícita Ax+By+C=0\,.

Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta

Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque (d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación explícita de la recta

Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28")     Sinopsis:
  • La función lineal.
  • Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
  • Pendiente de una recta.
  • Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
  • Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01")     Sinopsis:
  • Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
  • Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49")     Sinopsis:
  • Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
  • Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26")     Sinopsis:
  • Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
  • Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59")     Sinopsis:
  • Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
  • Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50")     Sinopsis:
  • Cálculo de la tasa de variación de una recta.
  • Ejemplos

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