Ecuaciones de una recta en el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Vector de dirección de una recta

  • Una recta r\, queda determinada por un punto P\, y un vector \overrightarrow{d} que fije su dirección. A dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
  • Dos puntos A\, y B\, de una recta determinan un vector de dirección de la misma, \overrightarrow{AB}.

Ecuación vectorial de la recta

Sea \mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\} un sistema de referencia del plano, y sea r\, una recta determinada por un punto P\, y un vector de dirección \overrightarrow{d}. Cualquier punto X\, de la recta queda determinado de la siguiente manera:

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

donde t \in \mathbb{R} es un parámetro que, al variar, va generando los distintos puntos de la recta.

Esta expresión vectorial recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r\,.

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuación vectorial de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando su ecuación vectorial.

Actividad:
Modifica el parámetro t\, y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.


Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta r\,, con vector de dirección \overrightarrow{d}(d_1,d_2) y que pasa por el punto P(p_1,p_2)\,.


\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

Deducción: 

A partir de la ecuación verctorial de la recta

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+t \cdot \overrightarrow{d}

si sustituimos cada vector por sus coordenadas, tenemos:

(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)
Igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones.

ejercicio

Actividad interactiva: Ecuaciones paramétricas de la recta

Actividad 1: En la siguiente escena tenemos la recta con vector de dirección \overrightarrow{d}(3,2) y que pasa por el punto P(3,6)\,. Veremos como se obtienen los distintos puntos de una recta utilizando sus ecuaciones paramétricas.

Actividad:
Su ecuación vectorial es:
(x,y)=(p_1,p_2)+t \cdot (d_1,d_2)=(3,6)+ t \cdot (3,2)

y sus ecuaciones paramétricas:

\begin{cases} x=3+ 3t \\ y=6+ 2t \end{cases}

Modifica el parámetro t\, y observa como se obtienen distintos puntos de la recta.


Click aquí si no se ve bien la escena

Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta r\,, con vector director \overrightarrow{d}(d_1,d_2)\quad (d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0) y que pasa por un punto P(p_1,p_2)\,:


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Deducción: 

A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta, despejando el parámetro t\, (siempre y cuando las dos coordenadas del vector \overrightarrow{d}(d_1,d_2) sean distintas de cero), tenemos:

\begin{cases} x=p_1+ t\cdot d_1 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{x-p_1}{d_1} \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \quad \rightarrow \quad t=\cfrac{y-p_2}{d_2} \end{cases}
Igualando ambos valores de t\,, obtenemos la ecuación.

Ecuación implícita de la recta

Ecuación implícita de la recta r\,:

Ax+By+C=0\,

Deducción: 

Partiendo de la ecuación continua de la recta: (suponemos que d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0)


\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2}

Multiplicando en cruz:

d_2 \cdot (x-p_1)=d_1 \cdot (y-p_2)

y pasando todos los términos a la izquierda de la ecuación, tenemos:

d_2 \, x -d_1 \, y -d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2=0


de donde, haciendo: A=d_2\,,     B=-d_1\,    y     C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,

se tiene la ecuación.

Antes hemos supuesto d_1 \ne 0 y d_2 \ne 0. Si, por el contrario, alguno fuera cero tendríamos:

  • Si d_1=0\,, de las ecuaciones paramétricas serían:
\begin{cases} x=p_1 \\ y=p_2+ t\cdot d_2 \end{cases}

de donde se tiene que la recta es vertical con ecuación x=p_1\, y su ecuación implícita sería x-p_1=0\,.

  • Si d_2=0\,, de las ecuaciones paramétricas serían:
\begin{cases}x=p_1+td_1 \\ y=p_2 \end{cases}
de donde se tiene que la recta es horizontal con ecuación y=p_2\, y su ecuación implícita sería y-p_2=0\,.

ejercicio

Proposición

Dada una recta de ecuación Ax+By+C=0\,:

  • El vector (-B,A)\, es un vector de dirección de la recta.
  • El vector (A,B)\, es un vector perpendicular a la recta.
Demostración:

Antes vimos, en la deducción de la ecuación explícita, que partiendo de la ecuación continua y haciendo A=d_2\,, B=-d_1\, y C=-d_2 \, p_1 + d_1 \, p_2\,, se tenía la ecuación implícita Ax+By+C=0\,.

Entonces, el vector (-B, A)=(d_1,d_2), que es el vector director de la recta

Y el vector (A,B)=(d_2, -d_1) es perpendicular a la recta porque (d_2, -d_1)\cdot((d_1,d_2)=0, y sabemos que si el producto escalar de dos vectores vale cero, éstos son ortogonales.

Ecuación explícita de la recta

Estudio "no vectorial" de la recta

Las rectas (18'28")     Sinopsis:
  • La función lineal.
  • Representación gráfica de una recta a partir de su ecuación.
  • Pendiente de una recta.
  • Representación gráfica de una recta a partir de su pendiente y de un punto por el que pasa.
  • Rectas perpendiculares al eje de abscisas.

Recta que pasa por dos puntos conocidos (16'01")     Sinopsis:
  • Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
  • Ejemplos.

Recta que pasa por punto conocido con pendiente conocida (3'49")     Sinopsis:
  • Deducción geométrica de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado con pendiente dada.
  • Ejemplos.

Recta con otras notaciones (5'26")     Sinopsis:
  • Distintas formas de escribir la ecuación de la recta.
  • Ejemplos.

Paralelismo y perpendicularidad de rectas (9'59")     Sinopsis:
  • Rectas paralelas: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.
  • Rectas perpendiculares: relación entre sus pendientes. Ejemplos y problemas.

Tasa de variación de una recta (6'50")     Sinopsis:
  • Cálculo de la tasa de variación de una recta.
  • Ejemplos

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ecuaciones_de_una_recta_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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