Ecuaciones trigonométricas (1ºBach)

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{{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación trigonométrica''' es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.}} {{Caja_Amarilla|texto=Una '''ecuación trigonométrica''' es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.}}
-Como las incógnitas son ángulo, tenemos que averiguar qué valores del ángulo son solución. En consecuencia, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.+Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.
-Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones, son muy diversas: cambio de variable, uso de [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|identidades trigonométricas fundamentales]] y de [[Fórmulas trigonométricas (1ºBach) | fórmulas trigonométricas]], etc.+Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de [[Razones trigonométricas de un ángulo agudo (1ºBach)#Relaciones fundamentales de la trigonometría|identidades trigonométricas fundamentales]] y de [[Fórmulas trigonométricas (1ºBach) | fórmulas trigonométricas]], etc.
 + 
 +Veamos algunos ejemplos:
{{p}} {{p}}
{{ejemplo2 {{ejemplo2
|titulo=Ejemplos: ''Ecuaciones trigonométricas'' |titulo=Ejemplos: ''Ecuaciones trigonométricas''
|enunciado= |enunciado=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado={{p}}
 +'''1. '''Resuelve: <math>cos \, (30^\circ + x)= sen \, x</math>
 +|sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
 +Desarrollamos el coseno de una suma en el primer miembro:
 +{{p}}
 +:<math>cos \, 30^\circ \cdot cos \, x - sen \, 30^\circ \cdot sen \, x = sen \, x</math>
 +{{p}}
 +:<math> \cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos \, x - \cfrac{1}{2} \cdot sen \, x = sen \, x </math>
 +{{p}}
 +:<math> \sqrt{3} \, cos \, x = 3 \, sen \, x</math>
 +{{p}}
 +Dividimos ambos miembros por <math>cos \, x</math>. (Observa que <math>cos \, x=0</math> si <math>x=90^\circ</math> ó <math>x=270^\circ</math>, valores que no cumplen la ecuación de partida. Por tanto no estaríamos dividiendo por cero y no perderíamos ninguna solución)
 +{{p}}
 +:<math>\sqrt{3} = 3 \, \cfrac{sen \, x}{cos \, x} \ \rightarrow \ \sqrt{3} = 3 \, tg \, x \ \rightarrow </math>
 +{{p}}
 +:<math>\rightarrow tg \, x = \cfrac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_1= 30^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_2=210^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\end{cases} , \, k \in \mathbb{Z}</math>
 +'''Soluciones:'''
 +
 +:<math>x=
 +\begin{cases}
 +~30^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +210^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\end{cases}
 + , \, k \in \mathbb{Z}</math>
 +}}
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=+|enunciado={{p}}
-'''1. '''Resuelve: <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>+'''2. '''Resuelve: <math>2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0</math>
|sol= |sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
Transformamos la ecuación de partida: Transformamos la ecuación de partida:
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</math> </math>
-:<math>\begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 = arctg \, \cfrac{3}{2}=56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\ z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 = arctg \, -1=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+Deshacemos el cambio de variable:
 +{{p}}
 +*<math>z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 +{{p}}
 +*<math>z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 =135^\circ + 180^\circ \cdot k \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
'''Soluciones:''' '''Soluciones:'''
-:<math>\begin{cases} x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+:<math>x=
 +\begin{cases} 56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k
 +\\
 +135^\circ + 180^\circ \cdot k
 +\end{cases}
 + \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
}} }}
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-'''2. '''Resuelve: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>}}+'''3. '''Resuelve: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0</math>}}
|sol= |sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
Usando la identidad fundamental: Usando la identidad fundamental:
Línea 52: Línea 101:
:<math>1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}</math> :<math>1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}</math>
-'''Soluciones:''' +Veamos cada uno de los dos casos:
-:<math>x=\begin{cases} arcsen \, \cfrac{1}{2}=+*<math>sen \, x = \cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases}
-\begin{cases}+
x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k
\\ \\
x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k
-\end{cases} +\end{cases}
 +</math>
 +{{p}}
 +*<math>
 +sen \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow \begin{cases}
 +x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\end{cases}</math>
 +'''Soluciones:'''
 +
 +:<math>x=\begin{cases}
 +30^\circ + 360^\circ \cdot k
\\ \\
- arcsen \, -\cfrac{1}{2}=+150^\circ + 360^\circ \cdot k
-\begin{cases}+
-x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k+
\\ \\
-x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k+210^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +330^\circ + 360^\circ \cdot k
-\end{cases} +\end{cases}</math>
-x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+
}} }}
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-'''3. '''Resuelve: <math>sen(2x+60^\circ)+sen(x+30^\circ)=0</math>+'''4. '''Resuelve: <math>cos \,3x + cos \, x=0</math>
|sol= |sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
Transformamos la suma en producto: Transformamos la suma en producto:
 +{{p}}
 +:<math>2 \cdot cos \, \cfrac{3x+x}{2} \cdot cos \, \cfrac{3x-x}{2}=0</math>
-:<math>2 \, sen \Big( \cfrac{2x+x+60^\circ+30^\circ}{2} \Big) \cdot cos \Big( \cfrac{2x-x+60^\circ-30^\circ}{2} \Big)=0</math>+:<math>2 \cdot cos \, 2x \cdot cos \, x = 0</math>
-:<math>2 \, sen \Big( \cfrac{3x}{2}+45^\circ \Big) \cdot cos \Big( \cfrac{x+15^\circ}{2} \Big)=0</math>+{{b4}}
Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor: Dividimos ambos miembros entre 2 e igualamos a cero cada factor:
-:<math>sen \Big( \cfrac{3x}{2}+45^\circ \Big)=0 \rightarrow +:<math>cos \, 2x \cdot cos \, x = 0 \rightarrow
\begin{cases} \begin{cases}
-\cfrac{3x}{2}+45^\circ=0^\circ + 360^\circ \cdot k \rightarrow x_1=-30^\circ + 120^\circ \cdot k+cos \, 2x =0
\\ \\
-\cfrac{3x}{2}+45^\circ=180^\circ + 360^\circ \cdot k \rightarrow x_2=-30^\circ + 120^\circ \cdot k+\acute{o}
 +\\
 +cos \, x = 0
-\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+\end{cases}</math>
- +{{p}}
-:<math>cos \Big( \cfrac{x}{2}+15^\circ \Big)=0 \rightarrow +Veamos que ocurre en cada caso:
 +{{p}}
 +*<math>cos \, x = 0 \rightarrow
\begin{cases} \begin{cases}
-\cfrac{x}{2}+15^\circ=90^\circ + 360^\circ \cdot k \rightarrow x_3=150^\circ + 360^\circ \cdot k+x_1=90^\circ + 360^\circ \cdot k
\\ \\
-\cfrac{x}{2}+15^\circ=270^\circ + 360^\circ \cdot k \rightarrow x_4=150^\circ + 360^\circ \cdot k+x_2=270^\circ + 360^\circ \cdot k
\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math> \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
 +{{b4}}
 +*<math>cos \, 2x = 0 \rightarrow cos^2 \, x - sen^2 \, x = 0 \rightarrow cos^2 \, x = sen^2 \, x </math>
 +{{p}}
 +:<math>\rightarrow
 +\begin{cases}
 +cos \, x = sen \, x \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_3 = 45^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_4 = 225^\circ + 360^\circ \cdot k
-'''Soluciones:'''+\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
 +\\
 +\acute{o}
 +\\
 +cos \, x = -sen \, x \rightarrow
 +\begin{cases}
 +x_5 = 135^\circ + 360^\circ \cdot k
 +\\
 +x_6 = 315^\circ + 360^\circ \cdot k
-<math>x=\begin{cases}+\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}
--30^\circ + 360^\circ \cdot k+ 
 +\end{cases}</math>
 + 
 + 
 +'''Soluciones:'''
 +Se comprueba que los 6 conjuntos de soluciones anteriores son válidos. Podemos abreviar su expresión de la siguiente manera:
 +{{p}}
 +:<math>x=\begin{cases}
 +90^\circ + 180^\circ \cdot k
\\ \\
-\, \, 150^\circ + 360^\circ \cdot k+45^\circ + 90^\circ \cdot k
\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math> \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
Línea 114: Línea 207:
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-'''4. '''Resuelve: <math>sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}</math>+'''5. '''Resuelve: {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}</math>}}
|sol= |sol=
 +'''Solución:'''
 +{{p}}
Multiplicamos los dos miembros por -1: Multiplicamos los dos miembros por -1:
Línea 125: Línea 220:
240^\circ + 360^\circ \cdot k 240^\circ + 360^\circ \cdot k
-\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>+\end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z} \ \rightarrow</math><math> x=
 +\begin{cases}
 +\, 60^\circ + 180^\circ \cdot k
 +\\
 +120^\circ + 180^\circ \cdot k
 + 
 +\end{cases} \, , \ k \in \mathbb{Z}</math>
'''Soluciones:''' '''Soluciones:'''
-<math>x=+:<math>x=
\begin{cases} \begin{cases}
-\, 60^\circ + 360^\circ \cdot k+\, 60^\circ + 180^\circ \cdot k
\\ \\
-120^\circ + 360^\circ \cdot k+120^\circ + 180^\circ \cdot k
\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math> \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}</math>
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Ecuaciones trigonométricas|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=14'20"
 +|sinopsis=Ecuaciones trigonométricas. Ejemplos.
 +{{p}}
 +|url1=https://youtu.be/XhIz5xK6IeU?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1b
 +|duracion=18'21"
 +|sinopsis=Ecuaciones trigonométricas. Más ejemplos.
 +{{p}}
 +|url1=https://youtu.be/8Em5CxFV-aU?list=PLwCiNw1sXMSCaukmrbPRm2SQuhas4kWS_
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=4´02"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EN7S3jzkmLs
 +|sinopsis=Resuelve: <math>2 sen \, \theta \, -1 = 0\;</math> con <math>0 \le \theta < 360^o\;</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4´25"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TlRzT96DUYs
 +|sinopsis=Resuelve: <math>2 cos \, \alpha \, + \sqrt{3} = 0\;</math> con <math>0 \le \alpha < 360^o\;</math>
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=6´11"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=1eoNHyuPKhY
 +|sinopsis=Resuelve dando la solución en radianes: <math>sen \, x = \cfrac{1}{3}\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=5´20"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=oH3V0_EUBkQ
 +|sinopsis=Resuelve dando la solución en radianes:
 +
 +# <math>cos \, \theta = 1\;</math>.
 +# <math>cos \, \theta = -1\;</math>.
 +}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 3a
 +|duracion=6´23"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2Poj4GNWJ7k
 +|sinopsis=Resuelve: <math>tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\;</math> (1ª parte)
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_julioprofe
 +|titulo1=Ejercicio 3b
 +|duracion=5´58"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gfCpZCq8MIk
 +|sinopsis=Resuelve: <math>tg^2 x + cosec^2 x \, - 3 = 0\;</math> (2ª parte)
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=6'41"
 +|sinopsis=Resuelve: <math>-3 sen \, x + cos^2 x= 3\;</math>
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/trigonometria/ecuaciones-trigonometricas/ecuacion-trigonometrica-01
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=7'02"
 +|sinopsis=Resuelve el sistema:
 +
 +:<math>\left . \begin{matrix} sen \, x + sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \\ sen \, x - sen \, y =\ \cfrac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right \}</math>
 +
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/trigonometria/sistemas-de-ecuaciones-trigonometricas/sistema-de-ecuaciones-trigonometricas-01
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 6
 +|duracion=5´55"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=H2K6xqAHskE&list=PL8C0D37B1235315C7&index=26
 +|sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones:
 +*<math>1+sen \, x- cos^2 \, x =0</math>
 +*<math>cos \, x + cos \, 2x =0</math>
 +*<math>sen \, x + cos \, x =1</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1= Ejercicio 7
 +|duracion=5´44"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=71ah85_lSWw&index=27&list=PL8C0D37B1235315C7
 +|sinopsis=Resuelve las siguientes ecuaciones:
 +*<math>sen \, 2x = tg \, x</math>
 +*<math>sen \, x + cos \, x =sec \, x</math>
 +*<math>tg \, 2x =tg \, x</math>
 +}}
 +
 +}}
 +{{p}}
 +{{Actividades|titulo=Ecuaciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Ecuaciones trigonométricas sencillas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/solving-sinusoidal-models/a/trigonometric-equations-review
 +|titulo1=Actividad 1
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.
 +|enlace=[http://ggbm.at/EjaJYtcx Actividad 2]
 +}}
 +{{Geogebra_enlace
 +|descripcion=En esta escena podrás practicar ejercicios sobre resolución de ecuaciones trigonométricas que se pueden factorizar.
 +|enlace=[http://ggbm.at/YM8VUvWe Actividad 3]
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Resuelve ecuaciones trigonométricas (básico).
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/basic-sinusoidal-equations/e/solve-basic-sinusoidal-equations
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Resuelve ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/advanced-sinusoidal-equations/e/solve-advanced-sinusoidal-equations
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|descripcion=Problemas para resolver por medio de ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/solving-sinusoidal-models/e/inverse-trig-word-problems
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación 4
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/e_e.html
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación 5
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre sistemas de ecuaciones trigonométricas.
 +|url1=http://www.vitutor.com/al/trigo/s_e.html
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Ecuaciones trigonométricas|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Ecuaciones trigonométricas''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +:Resuelve las siguientes ecuaciones:
 +
 +:a) <math>cos(30^o+x)=sen(x)\,</math>
 +:b) <math>sen(2x)=tg(x)\,</math>
 +:c) <math>cos(3x)+cos(x)=0\,</math>
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +
 +:a) {{consulta|texto=solve [cos(30º+xº)=sin(xº), 0º<=xº<360º]}} o bien {{consulta|texto=solve [cos(30º+x)=sin(x), 0<=x<2pi]}} o bien {{consulta|texto=solve [cos(30º+x)=sin(x)]}}
 +:b) {{consulta|texto=solve [sin(2xº)= tan(xº), 0º<=xº<360º]}}
 +:c) {{consulta|texto=solve [cos(3xº)+cos(xº)=0, 0º<=xº<360º]}} (pulsa luego en "More solutions")
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
 +}}
 +
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones trigonométricas''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 135)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1; 2a,d; 4a,d; 5b
 +
 +[[Imagen:yellow_star.png|12px]] 2b,c; 3; 4b,c; 5a
}} }}
-http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría:Álgebra]]
-[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Funciones]]+

Revisión actual

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte de los argumentos de funciones trigonométricas.

Como las incógnitas son ángulos, si existe alguna solución, éstas van a ser infinitas (todos los ángulos coterminales con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Veamos algunos ejemplos:

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas


1. Resuelve: cos \, (30^\circ + x)= sen \, x

2. Resuelve: 2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0
3. Resuelve: cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0
4. Resuelve: cos \,3x + cos \, x=0
5. Resuelve: sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones trigonométricas


(Pág. 135)

1; 2a,d; 4a,d; 5b

2b,c; 3; 4b,c; 5a

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda