El significado de las fracciones (1º ESO)

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Una fracción nos permite representar una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales: Una fracción nos permite representar una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:
-:*El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.+*El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.
-:*El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.+*El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.
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Tabla de contenidos

(Pág. 122)

Introducción

Los números enteros surgen porque no bastaba con los números naturales para cubrir ciertas necesidades. Sin embargo, tampoco los enteros son suficientes. Hay muchas situaciones en las que necesitamos representar unidades incompletas. Por ejemplo, cuando vas al supermercado y compras un cuarto de kilo de gambas, es porque tienes suficiente con solo una parte y no necesitas la totalidad del kilo; o cuando te dicen que el 99% de una medusa es agua, te queda muy claro que le falta muy poco para ser toda agua, pero que no lo es en su totalidad.

Para estos casos se inventaron las fracciones. Curiosamente, desde un punto de vista histórico, las necesidad de las fracciones fue cubierta antes que la necesidad de los números negativos. Probablemente sea más natural hablar de partes incompletas de algo (fracciones) que de partes que "no están" (negativos). Fueron los egipcios, hace más de 3500 años, los primeros en usar fracciones. No utilizaban la barra que usamos nosotros para separar numerador de denominador, sino un símbolo parecido a un ojo, y sólo usaban el 1 como numerador (fracciones unitarias), pero sentaron las bases de lo que hacemos nosotros hoy en día.

Fig. 1: Fracciones egipcias
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Fig. 1: Fracciones egipcias

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Fracciones (7'06")     Sinopsis:

Si no fuera por las fracciones ni Troncho ni Poncho ni nadie podría celebrar su cumpleaños.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

Las fracciones en nuestra vida cotidiana     Descripción:

Actividades en las que se resume lo que se va a ver en este tema.

Las fracciones

Cuando necesitamos expresar cantidades que representan unidades incompletas o partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.

  • Una fracción es una expresión de la forma \frac{a}{b}\;, o bien, a/b\;, donde a\; y b\; son números enteros, siendo b \ne 0 \;.
  • Al número a\; lo llamaremos numerador y al número b\;, denominador.
  • Al número que resulta de dividir el numerador entre el denominador lo llamaremos el valor de la fracción .

La fracción como parte de un todo

Una fracción nos permite representar una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:

  • El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.
  • El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.

Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1
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Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1
Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.
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Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.

ejercicio
Ejemplo:

En la Fig. 2 tienes algunos ejemlos de fracciones representadas mendiante los llamados diagramas de tarta.

El valor de cada fracción se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador:

\cfrac{1}{1}= 1 \, ; \qquad \cfrac{1}{2}= 0.5 \, ; \qquad \cfrac{1}{4}=0.25 \, ; \qquad \cfrac{3}{4}= 0.75

Fíjate que la unidad se puede representar mediante una fracción que tenga el mismo numerador que denominador.

En la Fig. 3 está representada la fracción 2/5. Fíjate como al hacer la división 2:5=0.4, se obtienen 4 décimas, que ocupan la misma porción que la fracción 2/5. Es decir, una fracción equivale a una división indicada.

video
Fracciones
Tutorial 1 (1'28")     Sinopsis:

Concepto de fracción. Términos. ¿Cómo se leen?

Tutorial 2 (7'06")     Sinopsis:

Concepto de fracción. Fracciones propias e impropias.

Tutorial 3 (8'17")     Sinopsis:

Concepto de fracción. Fracciones propias e impropias.

video
Representación gráfica de las fracciones y de su expresión decimal
Tutorial 1 (5'08")     Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones y de su expresión decimal.

Tutorial 2 (19'26")     Sinopsis:

Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.

  • 00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
  • 04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
  • 05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
  • 09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
  • 11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.
Tutorial 3 (28'14")     Sinopsis:

Representación de fracciones en la recta numérica.

Ejercicio 1a (5'19")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{3}{2} \ ; \ \cfrac{2}{2} \ ; \ \cfrac{-3}{2} \ ; \ \cfrac{-5}{2} \ ; \ \cfrac{0}{2} \ ; \ \cfrac{7}{2} \ ; \ \cfrac{-1}{2} \ ; \ \cfrac{-2}{2}
Ejercicio 1b (4'55")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{1}{4} \ ; \ \cfrac{-2}{4} \ ; \ \cfrac{0}{4} \ ; \ \cfrac{-8}{4} \ ; \ \cfrac{3}{4} \ ; \ \cfrac{7}{4} \ ; \ \cfrac{-3}{4} \ ; \ \cfrac{4}{4} \ ; \ \cfrac{-4}{4}
Ejercicio 1c (8'03")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{1}{-2} \ ; \ \cfrac{-2}{-2} \ ; \ \cfrac{0}{-2} \ ; \ \cfrac{-8}{-2} \ ; \ \cfrac{3}{-2} \ ; \ \cfrac{7}{-2} \ ; \ \cfrac{-3}{-2} \ ; \ \cfrac{2}{-2}
Ejercicio 1d (7'00")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{1}{-3} \ ; \ \cfrac{-2}{-3} \ ; \ \cfrac{0}{-3} \ ; \ \cfrac{-8}{-3} \ ; \ \cfrac{3}{-3} \ ; \ \cfrac{7}{-3} \ ; \ \cfrac{-3}{-2}
Ejercicio 1e (7'40")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{1}{-4} \ ; \ \cfrac{-2}{-4} \ ; \ \cfrac{0}{-4} \ ; \ \cfrac{-8}{-4} \ ; \ \cfrac{3}{-4} \ ; \ \cfrac{7}{-4} \ ; \ \cfrac{-3}{-4} \ ; \ \cfrac{4}{-4} \ ; \ \cfrac{-4}{-4}
Ejercicio 1f (8'22")     Sinopsis:

Representa las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac{1}{-5} \ ; \ \cfrac{-2}{-5} \ ; \ \cfrac{0}{-5} \ ; \ \cfrac{-4}{-5} \ ; \ \cfrac{3}{-5} \ ; \ \cfrac{7}{-5} \ ; \ \cfrac{-3}{-5} \ ; \ \cfrac{5}{-5} \ ; \ \cfrac{-5}{-5}
Ejercicio 2a (10'39")     Sinopsis:

Escribe la fracción que representa cada una de las letras representadas en la recta numérica.

Ejercicio 2b (11'02")     Sinopsis:

Escribe la fracción que representa cada una de las letras representadas en la recta numérica.

Ejercicio 3a (2'44")     Sinopsis:

Representa sobre la misma recta las fracciones \cfrac{1}{2}\;, \cfrac{1}{3}\; y \cfrac{2}{5}\;.

Ejercicio 3b (3'22")     Sinopsis:

Representa sobre la misma recta las fracciones \cfrac{1}{2}\;, \cfrac{2}{-2}\;, \cfrac{3}{2}, <math>\cfrac{4}{-2}\;\;</math> y \cfrac{5}{2}\;.

Ejercicio 3c (3'40")     Sinopsis:

Representa sobre la misma recta las fracciones \cfrac{1}{-3}\;, \cfrac{-2}{3}\;, \cfrac{3}{3}, <math>\cfrac{-4}{3}\;\;</math> y \cfrac{5}{-3}\;.

video
Fracciones
Exposición     Descripción:
Actividad 1     Descripción:

Significado de las fracciones

Actividad 2     Descripción:
  1. Actividad en la que se muestra y practica el concepto de fracción.
  2. Actividad en la que se explica y practica la representación de fracciones en la recta numérica.
Actividad 3: ¿Cómo se leen las fracciones?     Descripción:

Actividades en las que se explica y practica cómo se lee una fracción.

Actividad 4: Representación en la recta numérica     Descripción:

Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:  a) \cfrac {3}{5} b) \cfrac {7}{2} c)-\cfrac {8}{3} d) -\cfrac {4}{7} e) \cfrac {1}{10} f) \cfrac {14}{4}

Compruéba las soluciones en la siguiente escena:

Actividad 5: La fracción como parte del todo y como división indicada     Descripción:
Autoevaluación: Significado de las fracciones     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el significado de las fracciones.

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

ejercicio
Ejemplos:
  • \cfrac{3}{5}\; es una fracción propia porque 3 < 5.
  • \cfrac{7}{2}\; es una fracción impropia porque 7 > 2.

Fracciones propias e impropias (12'11")     Sinopsis:

Representación gráfica de fracciones propias e impropias.

Fracciones propias e impropias     Descripción:

Actividad en la que debes separar las fracciones propias de las impropias

wolfram
Fracciones propias e impropias
wolfram

Actividad: Números racionales

a) Representa la fracción 7/9 en forma de diagrama de tarta.
b) Representa la fracción 22/6 en forma de diagrama de tarta.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) pie chart 7/9
b) pie chart 22/6

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

ejercicio

Proposición

Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Demostración:

Basta aplicar el algoritmo de la división:

D=d \cdot c + r

y, a continuación, dividir todos los términos por d\;\!

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}
Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
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Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1

ejercicio
Ejemplos:

Ejemplo 1:

La fracción  \cfrac{10}{8}  es impropia.

Es mayor que la unidad y podemos expresarla como número mixto (Ver Fig. 4):

\cfrac{10}{8}= \cfrac{8}{8} + \cfrac{2}{8} = 1 +\cfrac{2}{8}


Ejemplo 2:

La frácción \cfrac{35}{8}es impropia. La podemos decomponer en la suma de un entero y una fracción propia.

Para ello, dividimos 35 entre 8:

35=4 \cdot 8 + 3

El dividendo D=35\;\!, el divisor d=8\;\!, el cociente c=4\;\! y el resto r=3\;\!.

Aplicando la proposición anterior:

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

y sustituyendo cada letra por su valor:

\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}

Actividades     Descripción:

Actividades sobre el signo de las fracciones y sobre la descomposición de fracciones impropias como suma de un entero y una fracción propia.

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\ (b<c)

ejercicio
Aviso:

La fracción situada a la derecha del entero suele escribirse con una tipografía de menor tamaño para que no se confunda con una multiplicación de un número por una fracción.

ejercicio
Ejemplo:

La fracción \cfrac{10}{8}\; de la Fig. 4 hemos visto que se puede expresar mediante el número mixto 1 \begin{matrix} \frac{2}{8} \end{matrix}:

1 \begin{matrix} \frac{2}{8} \end{matrix}=1+\cfrac{2}{8}=\cfrac{8}{8}+\cfrac{2}{8}= \cfrac{10}{8}

video
Números mixtos
Tutorial 1 (4'28")     Sinopsis:

Números mixtos. Ejemplos de paso de forma fraccionaria a mixta y viceversa.

Conversión de fracción impropia a número mixto

Tutorial 1 (7'16")     Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 2 (3'14")     Sinopsis:

Conversión de fracción impropia a número mixto.

Tutorial 3 (5'32")     Sinopsis:

Escribiendo una fracción impropia com un número mixto

Ejercicio 1 (3'14")     Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: \cfrac{89}{5}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (3'18")     Sinopsis:

Convierte a número mixto la siguiente fracción impropia: \cfrac{79}{6}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Conversión de número mixto a fracción impropia

Tutorial 1 (5'50")     Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Tutorial 2 (7'50")     Sinopsis:

Conversión de número mixto a fracción impropia.

Ejercicio 1 (1'03")     Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: 6 \begin{matrix}\frac{3}{4}\end{matrix}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

Ejercicio 2 (1'14")     Sinopsis:

Convierte a fracción impropia el siguiente número mixto: -8 \begin{matrix}\frac{2}{5}\end{matrix}

Nota: En el video, la división está realizada por el método anglosajón

video
Números mixtos
Actividad     Descripción:

Números mixtos y fracciones impropias.

Autoevaluación     Descripción:

Actividades de nivel variable en las que deberás obtener la forma mixta de una fracción.

Calculadora

Calculadora: Fracciones mixtas

A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez Fracción.
Ejemplo:
  • Operación: A) \cfrac {7}{3} \ \rightarrow \ 2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix} ;         B) 2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix} \ \rightarrow \ \cfrac {7}{3}

Nota: 2 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}=2+\cfrac{1}{3}


  • Procedimiento: A) 7\;\! Fracción 3\;\! Obtener resultado        B) Fracción


  • Solución: A) 2 \lnot 1 \lnot 3 ;         B) 7 \lnot 3\;\!

wolfram
Números mixtos
wolfram

Actividad: Expresar fracciones en forma de número mixto

a) Expresa en forma de número mixto: \cfrac{66}{8}.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) mixed fraction 66/8

La fracción como operador

Supongamos que tenemos una cierta cantidad (que llamaremos "el total") y que queremos saber cuánto es una determinada fracción de dicha cantidad (que llamaremos "la parte"). En tal caso, diremos que la fracción actúa como operador de dicha cantidad y procederemos de la siguiente manera : Dividimos la cantidad total entre el denominador, para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer, y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

ejercicio

Fracción de una cantidad

Para calcular una fracción a/b de una cantidad C se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. (También podemos multiplicar primero por el numerador y dividir después por denominador, o incluso calcular el valor de la fracción y multiplicarlo por C).

\cfrac{a}{b} \ \mbox{de} \ C = \cfrac{C}{b} \cdot a = \cfrac{a \cdot C}{b}= \cfrac{a}{b} \cdot C

ejercicio

Ejemplo 1: Cálculo de la parte conocido el total

Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?

Solución:
Se divide la capacidad total del depósito entre 5, que es el número de partes en que hemos dividido la unidad (el depósito). El resultado se multiplica por 2, que son las partes de depósito que estan llenas:

    

\cfrac{2}{5} \ \mbox{de} \ 20=\cfrac{2}{5} \cdot 20 = \cfrac{20}{5} \cdot 2= 4 \cdot 2 = 8 \ l

Actividades: La fracción como operador     Descripción:

Actividad para practicar el cálculo de la fracción de una cantidad de forma guiada.

Actividades: La fracción como operador     Descripción:

ejercicio

Ejemplo 2: Cálculo del total conocida la parte

Un depósito de agua tiene 8 l, que son las 2/5 partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Solución:

Paso a paso:

\cfrac{2}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 8 \, l \rightarrow \cfrac{1}{5} \ de \ dep \acute{o} sito= 8:2=4 \, l \rightarrow \cfrac{5}{5} \ de \ dep \acute{o} sito = 5 \, \cdot \,4 = 20 \, l

Directo:

Sea x\; = capacidad del depósito.

\cfrac{2}{5} \cdot x = 8 \ \rightarrow \ x= \cfrac{8 \cdot 5}{2} = \cfrac{40}{2}=20 \, l

Esta técnica la aprenderemos cuando veamos las ecuaciones. De momento lo aplicaremos como una la regla práctica.

video
La fracción como operador
Tutorial 1 (5'14")     Sinopsis:

La fracción como operador. Ejemplos.

Tutorial 2 (17'51")     Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de proporción y se explica/justifica como calcular proporciones de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.

Tutorial 3 (1'07")     Sinopsis:

Cómo se calcula la fracción de un número.

Problema 1 (3'10")     Sinopsis:

He pagado 2/5 partes de una bici que costaba 90€. ¿Cuánto me falta por pagar?

Problema 2 (2'53")     Sinopsis:

He pagado 2/5 partes de una bici y me faltan 90€ por pagar. ¿Cuánto costaba la bici?

Problema 3 (2'32")     Sinopsis:

He pagado 2/5 partes de una bici que suponen 90€ del total. ¿Cuánto costaba la bici?

Ejercicios y problemas

Problemas: La fracción como operador     Descripción:

Problemas sencillos con fracciones resueltos.

Problemas: La fracción como operador     Descripción:

Autoevaluación: Ejercicios y problemas con fracciones     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre fracciones.

ejercicio

Ejercicios propuestos: El significado de las fracciones

(Pág. 123)

4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13

1, 2, 3, 7, 8, 15

ejercicio

Ejercicios propuestos: Problemas con fracciones

(Pág. 128)

1, 2

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/El_significado_de_las_fracciones_%281%C2%BA_ESO%29"
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