El significado de las fracciones (1º ESO)

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Tabla de contenidos

(Pág. 122)

Introducción

Los números enteros surgen porque no bastaba con los números naturales para cubrir ciertas necesidades. Sin embargo, tampoco los enteros son suficientes. Hay muchas situaciones en las que necesitamos representar unidades incompletas. Por ejemplo, cuando vas al supermercado y compras un cuarto de kilo de gambas, es porque tienes suficiente con solo una parte y no necesitas la totalidad del kilo; o cuando te dicen que el 99% de una medusa es agua, te queda muy claro que le falta muy poco para ser toda agua, pero que no lo es en su totalidad.

Para estos casos se inventaron las fracciones. Curiosamente, desde un punto de vista histórico, las necesidad de las fracciones fue cubierta antes que la necesidad de los números negativos. Probablemente sea más natural hablar de partes incompletas de algo (fracciones) que de partes que "no están" (negativos). Fueron los egipcios, hace más de 3500 años, los primeros en usar fracciones. No utilizaban la barra que usamos nosotros para separar numerador de denominador, sino un símbolo parecido a un ojo, y sólo usaban el 1 como numerador (fracciones unitarias), pero sentaron las bases de lo que hacemos nosotros hoy en día.

Fig. 1: Fracciones egipcias
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Fig. 1: Fracciones egipcias

Un toque divertido para empezar el tema:

Las fracciones

Cuando necesitamos expresar cantidades que representan unidades incompletas o partes de la unidad, además de los números decimales, disponemos de las fracciones.

  • Una fracción es una expresión de la forma \frac{a}{b}\;, o bien, a/b\;, donde a\; y b\; son números enteros, siendo b \ne 0 \;.
  • Al número a\; lo llamaremos numerador y al número b\;, denominador.



El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

  • Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
  • Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.



Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1
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Fig. 2: Fracciones representadas mediante diagramas de tarta. La unidad es también una fracción cuyo numerador y denominador valen ambos 1
Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.
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Fig. 3: Coger 2 partes de 5 equivale a coger 4 décimas de 1 unidad.

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

ejercicio

Proposición


Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
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Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\  (b<c)



Calculadora

Calculadora: Fracciones mixtas


A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez Fracción.

La fracción como operador

Supongamos que tenemos una cierta cantidad (que llamaremos "el total") y que queremos saber cuánto es una determinada fracción de dicha cantidad (que llamaremos "la parte"). En tal caso, diremos que la fracción actúa como operador de dicha cantidad y procederemos de la siguiente manera : Dividimos la cantidad total entre el denominador, para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer, y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

ejercicio

Fracción de una cantidad


Para calcular una fracción a/b de una cantidad C se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. (También podemos multiplicar primero por el numerador y dividir después por denominador, o incluso calcular el valor de la fracción y multiplicarlo por C).

\cfrac{a}{b} \ \mbox{de} \ C = \cfrac{C}{b} \cdot a  = \cfrac{a \cdot C}{b}= \cfrac{a}{b} \cdot C

ejercicio

Ejemplo 1: Cálculo de la parte conocido el total


Si de un depósito de agua, en el que caben 20 l, sólo están llenas las 2/5 partes, ¿cuánta agua hay en el depósito?

ejercicio

Ejemplo 2: Cálculo del total conocida la parte


Un depósito de agua tiene 8 l, que son las 2/5 partes de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Ejercicios y problemas

ejercicio

Ejercicios propuestos: El significado de las fracciones


(Pág. 123)

4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13

1, 2, 3, 7, 8, 15

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Ejercicios propuestos: Problemas con fracciones


(Pág. 128)

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Herramientas personales
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