Estimación por intervalos de confianza de medias y proporciones

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-Queremos '''estimar''' la media poblacional <math> \mu </math> a partir de la media muestral <math> \bar{x} </math>, obteniendo para ello un intervalo de forma que tengamos una probabilidad alta (1-alfa)% de que la media poblacional esté en dicho intervalo.+Queremos '''estimar''' la media poblacional <math> \mu </math> a partir de la media muestral <math> \bar{x} </math>, obteniendo para ello un intervalo de forma que tengamos una probabilidad alta <math>(1- \alpha)% </math> de que la media poblacional esté en dicho intervalo.
Tipificando la expresión anterior: Tipificando la expresión anterior:

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Tabla de contenidos

Intervalo de confianza para la media

Ya vimos que la distribución muestral de las medias corresponde a:

\bar{X} \rightarrow N \left ( \mu, \frac{ \sigma } { \sqrt{n}} \right )

Queremos estimar la media poblacional μ a partir de la media muestral \bar{x}, obteniendo para ello un intervalo de forma que tengamos una probabilidad alta (1 − α)% de que la media poblacional esté en dicho intervalo.

Tipificando la expresión anterior:

Z= \frac{ \bar{X} - \mu}{ \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}} \rightarrow N \left ( 0, 1 \right )

Si fijamos una probabilidad α, podemos obtener -z y z que limitan un área de valor 1 - α. Deshaciendo la tipificación obtenemos el intervalo de confianza para la media:

En Resumen:

Intervalo de confianza para la media poblacional μ con un nivel de confianza de 1 − α es:

a) Varianza poblacional conocida(n \ge 30):

\left ( \bar{x} - z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}, \bar{x} + z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}} \right )


b) Varianza poblacional desconocida y muestras grandes (n \ge 100):

\left ( \bar{x} - z. \frac{s}{ \sqrt{n-1}}, \bar{x} + z. \frac{s}{ \sqrt{n-1}} \right )


Donde z, llamado valor crítico, es el valor que en la distribución N(0,1) deja a su derecha un área de \frac{ \alpha}{2} (cuartil\ 1- \frac{ \alpha}{2}), s la desviación típica muestral y n el tamaño de la muestra.

Intervalo de confianza para la proporción

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