Estimación por intervalos de confianza de medias y proporciones

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Intervalo de confianza para la media

Ya vimos que la distribución muestral de las medias corresponde a:

\bar{X} \rightarrow N \left ( \mu, \frac{ \sigma } { \sqrt{n}} \right )

Queremos estimar la media poblacional μ a partir de la media muestral \bar{x}, obteniendo para ello un intervalo de forma que tengamos una probabilidad alta (1 − α).100% de que la media poblacional esté en dicho intervalo.

Tipificando la expresión anterior:

Z= \frac{ \bar{X} - \mu}{ \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}} \rightarrow N \left ( 0, 1 \right )

Si fijamos una probabilidad α, podemos obtener -z y z que limitan un área de valor 1 - α. Deshaciendo la tipificación obtenemos el intervalo de confianza para la media:

En Resumen:

Intervalo de confianza para la media poblacional μ con un nivel de confianza de 1 − α es:

a) Varianza poblacional conocida y variable normal (n \ge 30):

\left ( \bar{x} - z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}, \bar{x} + z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}} \right )


b) Varianza poblacional desconocida y muestras grandes (n \ge 100):

\left ( \bar{x} - z. \frac{s}{ \sqrt{n-1}}, \bar{x} + z. \frac{s}{ \sqrt{n-1}} \right )


Donde z, llamado valor crítico, es el valor que en la distribución N(0,1) deja a su derecha un área de \frac{ \alpha}{2} (cuartil\ 1- \frac{ \alpha}{2}), s la desviación típica muestral y n el tamaño de la muestra.

Cálculo del valor crítico

Será necesario la Tabla N(0,1)

En la tabla N(0,1) aparece directamente la P(Z \le z) para valores de z entre 0 y 4. Observa que para valores mayores que 4 la probabilidad ya es prácticamente 1.

La única dificultad es calcular según el valor de alfa y en la tabla de la N(0,1), el valor de z que deja a su derecha un área de alfa/2. Anótalo en tu cuaderno de trabajo para los valores más normales del nivel de confianza: 90%, 95%, 99%. Comprueba dichos valores en la siguiente escena:


ejercicio

Actividades Interactivas:Intervalo de confianza para la media


Actividad 1. A una muestra de 150 estudiantes de 2º de Bachillerato en cierta ciudad correspondió una estatura media de 1,73 m, siendo la desviación típica de 4,9 cm. Estima la estatura media de la población, y calcula, para un nivel de confianza del 99%, el intervalo de confianza para la media.

Intervalo de confianza para la proporción

Sea p desconocida la proporción de elementos en la población pertenecientes a una categoría C, sacamos una muestra y se trata de obtener un intervalo de forma que tengamos una probabilidad alta (1-alfa).100% de que la proporción esté en ese intervalo.

Si se cumple una de las siguientes hipótesis, y que habrá de comprobarlas en todos los problemas son:

n. \widehat{p} >5 \quad n.(1- \widehat{p})>5

En estas condiciones se obtienen los siguientes intervalos según el tamaño de la muestra:

a) El tamaño de la muestra es mayor de 30 y menor o igual de 100.

\left ( \widehat{p} - z. \sqrt{ \frac{1}{4n}}, \widehat{p} + z. \sqrt{ \frac{1}{4n}} \right )


b) El tamaño de la muestra es mayor de 100.

\left ( \widehat{p} - z. \sqrt{ \frac{ \widehat{p}.(1-\widehat{p}}{n}}, \widehat{p} + z. \sqrt{ \frac{ \widehat{p}.(1-\widehat{p}}{n}} \right )


ejercicio

Actividades Interactivas:Intervalo de confianza para la proporción


Actividad 1. En cierta población se seleccionó aleatoriamente una muestra de 300 personas a las que se les sometió a cierto test cultural. De ellas, 225 resultaron aprobadas. Teniendo en cuenta esta información, estimar el porcentaje de persona de esa población que resultarían aprobada si se las sometiera a dicho test cultural. Obtener, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para la proporción

La determinación del tamaño muestral

Consiste en calcular el tamaño de la muestra necesario para que el error cometido al estimar el parámetro sea menor que una cierta cantidad, E, con un nivel de confianza de (1-alfa).100%.

a) Como para la media el error máximo cometido era de z. \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}} para garantizar que este valor sea menor o igual que un cierto error E, despejando n resulta:

n \ge \frac{z^2 \sigma^2}{E^2}

b) Como para la proporción el error máximo cometido era de z. \sqrt{ \frac{ \widehat{p}.(1-\widehat{p}}{n}} para garantizar que este valor sea menor o igual que un cierto error E, despejando n resulta:

n \ge \frac{z^2 \widehat{p}.(1- \widehat{p}}{E^2}


ejercicio

Actividades Interactivas:Determinación del tamaño muestral


Actividad 1. A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de cierta ciudad se ha estimado el gasto medio mensual por familia en electricidad en 50 €, con una desviación típica de 31.05 €, con un nivel de confianza del 99%. Calcular el error cometido. ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar como mínimo para garantizarnos, con una confianza del 99%, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 3?
Actividad 2.De qué tamaño habría que elegir una muestra para estimar la proporción de alumnos del instituto que le gusta el fútbol con un nivel de confianza del 95% y un error inferior a 0.05, si en una muestra de 10 alumnos, 6 de ellos respondieron que les gustaba el fútbol.
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