Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos (1ºBach)

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-*Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema.+
-*Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.+
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-*Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema.+
-*Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.+
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==Ejercicios propuestos== ==Ejercicios propuestos==
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Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 114)

Estrategia de la altura

La estrategia de la altuta es un método para resolver triángulos oblicuángulos que consiste en elegir convenientemente una de las alturas del triángulo, de manera que ésta lo divida en dos triángulos rectángulos que puedan resolverse con los datos que nos den.

Cálculo de la altura y del área de un triángulo oblicuángulo

ejercicio

Altura y área de un triángulo


  • La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no es la base) por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.

h=b \cdot  sen \, \hat C

    

  • El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

    

S=\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sen \, \hat C

Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base

ejercicio

Proyecciones sobre la base


  • Las proyecciones de los lados de un triángulo sobre su base se obtienen multiplicando cada lado por el coseno del ángulo que forma con la base.

m=b \cdot  cos \, \hat C

n=c \cdot  cos \, \hat B

ejercicio

Ejercicio resuelto: Cálculo de las proyecciones, de la altura y del área


En un triángulo MNP:

\overline{MN}=20\,cm \, , \  \overline{MP}=32\,cm \, , \ \hat{M}=52^\circ

a) Halla la proyección de MN sobre MP.

b) Halla su área.

Método de doble observación

El método de doble observación se utiliza cuando tenemos que hallar una altura de un objeto y tenemos como datos dos ángulos de observación desde dos puntos que están separados una distancia también conocida. También el dato conocido puede ser la altura y lo que tenemos que hallar es la distancia entre los puntos de observación.

ejercicio

Método de doble observación


Supongamos que los dos puntos de observación son B y C y que queremos hallar la distancia que hay entre ellos. Supongamos conocidos los ángulos B y C y la altura h.

Plantearemos el siguiente sistema de ecuaciones para determinar m y n:

\begin{cases} tg \, \hat B = \cfrac{h}{n}  \\ \, \\ tg \, \hat C = \cfrac{h}{m} \end{cases}

El problema puede variar en cuanto a los datos y a las incógnitas, pero mantiene como técnica el aplicar la tangente a los dos ángulos observados para plantear un sistema similar al anterior.

ejercicio

Ejemplo: Método de doble observación


Con objeto de determinar la altura de un árbol situado en un lugar inaccesible, se dispone un teodolito en un punto accesible y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del árbol, obteniéndose un ángulo de inclinación de 22º 47'.

A continuación, se adelanta el teodolito una distancia de 10 m en dirección al árbol y se vuelve a lanzar otra visual al mismo punto, obteniéndose, en este caso, un ángulo de 31º 19'.

Calcula la altura del árbol, considerando que el anteojo del teodolito está a 1.5 m del suelo.

Teoremas del cateto y de la altura

ejercicio

Teorema del cateto


En todo triángulo rectángulo, un cateto, a\;, es media proporcional entre la hipotenusa, h\;, y la proyección, m\;, de dicho cateto sobre la hipotenusa, c\;.

\frac{a}{m}=\frac{c}{a} \ \rightarrow \ a^2=m \cdot c

Y análogamente con el otro cateto, b\;, y su proyección, m\;:

\frac{b}{n}=\frac{c}{b} \ \rightarrow \ b^2=n \cdot c

ejercicio

Teorema de la altura


En todo triángulo rectángulo, la altura, h\;, sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta, m\; y n\;.

\frac{h}{n}=\frac{m}{h}

Actividades

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos


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