Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Cálculo de la altura y del área de un triángulo oblicuángulo
2 Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base
3 Estrategia de la altura
4 Ejercicios

Cálculo de la altura y del área de un triángulo oblicuángulo

Altura y área de un triángulo

La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados laterales (que no es la base) por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.

$h=b \cdot sen \, \hat C$

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.

$S=\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sen \, \hat C$

Demostración:

Altura: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo $\hat C$ y el lado $b\,$ ), podemos obtener el valor de la altura utilizando el seno del ángulo dado.

$sen \, \hat C=\cfrac{h}{b} \rightarrow h=b \cdot sen \, \hat C$

Área: Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC anterior. Teniendo en cuenta el valor de la altura que hemos obtenido en la demostración anterior, tenemos:

$S=\cfrac{b \cdot h}{2}=\cfrac{a \cdot b \cdot sen \, \hat C}{2}=\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sen \, \hat C$

$S=\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sen \, \hat C$

Cálculo de las proyecciones de los lados de un triángulo sobre la base

Proyecciones sobre la base

Las proyecciones de los lados de un triángulo sobre su base se obtienen multiplicando cada lado por el coseno del ángulo que forma con la base.

$m=b \cdot cos \, \hat C$

$n=c \cdot cos \, \hat B$

Demostración:

Consideremos un triángulo oblicuángulo ABC como el de la figura adjunta. Si conocemos el ángulo $\hat C$ y el lado $b\,$ ), podemos obtener el valor de la proyección $m\,$ sobre la base, utilizando el coseno del ángulo $\hat C$ :

$cos \, \hat C=\cfrac{m}{b} \rightarrow m=b \cdot cos \, \hat C$

Analogamente para la proyección $n\,$ :

$cos \, \hat B=\cfrac{n}{c} \rightarrow n=c \cdot cos \, \hat B$

Estrategia de la altura

La estrategia de la altuta es un método para resolver triángulos oblicuángulos que consiste en elegir convenientemente una de las alturas del triángulo, de manera que ésta lo divida en dos triángulos rectángulos que puedan resolverse con los datos que nos den.

Ejercicios

Actividad interactiva: Estrategia de la altura

Actividad 1: Triángulos isósceles

Actividad:

Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema.
Si pulsas el botón "AUTOEVALUACIÓN" podrás realizar una tanda de ejercicios para comprobar lo que sabes.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Otras aplicaciones.

Actividad:

Si pulsas el botón "EJERCICIO" cambiarán los datos del problema.
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Categorías: Matemáticas | Geometría