Factoriales y números combinatorios (1ºBach)
De Wikipedia
Revisión de 06:05 28 sep 2017 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Factoriales) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 15:43 12 sep 2019 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Factoriales) Ir a siguiente diferencia → |
||
Línea 22: | Línea 22: | ||
|contenido= | |contenido= | ||
:<math>4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24</math> | :<math>4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24</math> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Historia|titulo=Un poco de historia|texto= | ||
+ | |||
+ | La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en '''[[combinatoria]]''' y análisis matemático. | ||
+ | De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos ('''[[Combinatoria#Permutaciones|permutaciones]]'''). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes. | ||
+ | |||
+ | La notación matemática actual, {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n!\;</math>}}, fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida. | ||
+ | |||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
Línea 57: | Línea 65: | ||
}} | }} | ||
}} | }} | ||
- | La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en '''[[combinatoria]]''' y análisis matemático. | ||
- | De manera fundamental el factorial de ''n'' representa el número de formas distintas de ordenar ''n'' objetos distintos ('''[[Combinatoria#Permutaciones| permutaciones]]'''). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes. | ||
- | |||
- | La notación matemática actual, {{sube|porcentaje=15%|contenido=<math>n!\;</math>}}, fue usada por primera vez en 1808 por [[Christian Kramp]] (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida. | ||
{{p}} | {{p}} | ||
{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Factoriales''|enunciado= | {{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Factoriales''|enunciado= |
Revisión de 15:43 12 sep 2019
Enlaces internos | Para repasar o ampliar | Enlaces externos |
Indice Descartes Manual Casio | WIRIS Geogebra Calculadoras |
Tabla de contenidos |
(Pág. 43)
Factoriales
Sea , se define el factorial de como
y se define, por convenio:
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (permutaciones). Este hecho ya era conocido en el siglo XII por los hindúes.
La notación matemática actual, , fue usada por primera vez en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemático francés que trabajó, en especial, sobre los factoriales durante toda su vida.
Los 8 primeros minutos de este tutorial tratan sobre el factorial de un número y ejemplos.
Calcula 10!
Calcula 8!
Calcula 5!
Factorial de un número. Ejemplos.
a) Halla "x":
b) Halla "a":
a) Calcula sabiendo que
b) Simplifica:
a) Halla "a":
b) Halla "x":
(Pág. 43)
Números combinatorios
Coeficiente binomial
Sean . Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por , al número de subconjuntos de elementos escogidos de un conjunto con elementos. También se suele decir que es el "número de combinaciones de elementos tomados de en " y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".
Proposición
El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:
Demostración:
Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger k de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
formas, ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá n-k+1 opciones.
Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es
Multiplicando el numerador y el denominador por
o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
c.q.d.Propiedades de los números combinatorios
Propiedades
Demostración:
- En un conjunto con n elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el ) y solo un conjunto con n elementos (el propio conjunto de partida).
- En un conjunto con n elementos, cada subconjunto con k elementos tiene un complementario con n-k elementos.
- Esta demostración no se da por su complejidad.
Tutorial sobre números combinatorios.
Los 8 últimos minutos de este tutorial tratan sobre números combinatorios.
Calcula:
Calcula:
Calcula:
Comprueba que:
Comprueba que:
Comprueba que:
Calcula: