Factoriales y números combinatorios (1ºBach)

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# En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida). # En un conjunto con ''n'' elementos se puede extraer sólo un conjunto con 1 elemento (sólo el <math>\varnothing</math>) y solo un conjunto con ''n'' elementos (el propio conjunto de partida).
# En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos. # En un conjunto con ''n'' elementos, cada subconjunto con ''k'' elementos tiene un complementario con ''n-k'' elementos.
-# Esta demostración no se da por su complejidad.+# Esta demostración podéis verla en el siguiente vídeo:
 + 
 +{{Video_enlace_8cifras
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 +|duracion=13'22"
 +|sinopsis=Demostración de las propiedades de los números combinatorios.
 +|url1=https://youtu.be/0oAo14L2zA0
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}

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Tabla de contenidos

(Pág. 43)

Factoriales

Sea n \in \mathbb{Z}^+, se define el factorial de n\; como

n! = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot n

y se define, por convenio:

0! = 1 \;.



(Pág. 43)

Números combinatorios

Coeficiente binomial

Sean n,k \in \mathbb{N} \ , n \ge k. Se llama coeficiente binomial, y lo representaremos por {n\choose k}, al número de subconjuntos de k\; elementos escogidos de un conjunto con n\; elementos. Se lee "n sobre k".

También se suele decir que es el "número de combinaciones de n\; elementos tomados de k\; en k\;" y, por tanto, que se le conozca también como "número combinatorio".

ejercicio

Proposición


El coeficiente binomial viene dado por la fórmula:

{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Propiedades de los números combinatorios

ejercicio

Propiedades


  1. {n\choose 0} = {n\choose n} = 1
  2. {n\choose k} = {n\choose n-k}
  3. {n-1\choose k-1} + {n-1\choose k} = {n\choose k}

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