Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)
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| Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si <math>x=a\;</math> es una raíz de <math>P(x)\;</math>, entonces <math>P(a)=0\;</math> y, por el teorema del resto, el resto de dividir <math>P(x)\;</math> entre <math>(x-a)\;</math> es cero. Así <math>(x-a)\;</math> es un factor de <math>P(x)\;</math>. | Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si <math>x=a\;</math> es una raíz de <math>P(x)\;</math>, entonces <math>P(a)=0\;</math> y, por el teorema del resto, el resto de dividir <math>P(x)\;</math> entre <math>(x-a)\;</math> es cero. Así <math>(x-a)\;</math> es un factor de <math>P(x)\;</math>. | ||
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Tabla de contenidos |
Teorema del resto
Teoerma del Resto
El valor que toma un polinomio, 
, cuando hacemos 
, coincide con el resto de la división de entre 
. Es decir, 
, donde 
es el resto de dicha división.
Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:
donde 
es el dividendo, 
el divisor, 
el cociente y 
el resto y verificándose además, que el grado de es menor que el grado de .
En efecto, si tomamos el divisor 
, entonces tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar 
, y la fórmula anterior se convierte en:
Tomando el valor 
se obtiene que:
Ejemplo: Teorema del Resto
Calcula el resto de dividir el polinomio 
entre 
Bastará calcular 
Raíces de un polinomio
Un número 
es una raíz de un polinomio si 
. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación 
.
Corolario al Teorema del Resto
Si es una raíz de un polinomio , entonces es un factor de dicho polinomio.
Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si
es una raíz de , entonces 
y, por el teorema del resto, el resto de dividir entre es cero. Así es un factor de .Raíces enteras de un polinomio
Tenemos un polinomio 
con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por 
, pero ¿qué valor puede tomar 
? El siguiente resultado nos da la respuesta:
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.
En efecto, sea una raíz entera de un polinomio
Entonces, como , tendremos que
de donde, despejando el termino independiente
en todos sus sumandos, es un múltiplo de , entonces 
también. Luego divide al término independiente.Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini
Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
Ejemplo: Factorización de polinomios
Factoriza el siguiente polinomio:
Primero sacamos factor común 
:
Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de 
son 
Empezaremos probando con el 
1 -1 -39 109 -70 1 1 0 -39 70 1 0 -39 70 0
Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, x=1 y uno de los factores (x-1).
Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:
1 0 -39 70 1 1 1 -38 1 1 -38 32
El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
1 0 -39 70 -1 -1 1 38 1 -1 -38 108
El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
1 0 -39 70 2 2 4 70 1 2 -35 0
Ya hemos encontrado otra raíz, x=2, y el factor correspondieente, (x-2).
El polinomio quedará de la siguiente forma:
Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:
Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).
De esta manera:
Con lo que queda descompuesto el polinomio.
