Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Teorema del resto
2 Raíces de un polinomio
3 Raíces enteras de un polinomio
4 Factorización de polinomios

Teorema del resto

Teoerma del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 - 7\,$ entre $(x-2)\;$

Solución:

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Raíces de un polinomio

Un número $a\,$ es una raíz de un polinomio $P(x)\,$ si $P(a)\, = 0\,$ . Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación $P(x)\,= 0\,$ .

Corolario al Teorema del Resto

Si $x=a\;$ es una raíz de un polinomio $P(x)\;$ , entonces $(x-a)\;$ es un factor de dicho polinomio.

Demostración:

Es una consecuencia directa del teorema del resto. En efecto, si $x=a\;$ es una raíz de $P(x)\;$ , entonces $P(a)=0\;$ y, por el teorema del resto, el resto de dividir $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ es cero. Así $(x-a)\;$ es un factor de $P(x)\;$ .

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio $P(x)\,\!$ con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por $(x-a)\,\!$ , pero ¿qué valor puede tomar $a\,\!$ ? El siguiente resultado nos da la respuesta:

Teorema

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Demostración:

En efecto, sea $x=a\;$ una raíz entera de un polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

Entonces, como $P(a)=0\;$ , tendremos que

$P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0$

de donde, despejando el termino independiente

$-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a$

Como el miembro de la derecha contiene al factor $a\;$ en todos sus sumandos, es un múltiplo de $a\;$ , entonces $a_0\;$ también. Luego $a\;$ divide al término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado, $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

Demostración:

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles

Factoriza los siguientes polinomios

a) $5x^2+5x-60\;$

b) $5x^3+5x^2-60x\;$

Solución:

El polinomio $5x^2+5x-60\;$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5x^2+5x-60=0\;$ . Entonces:

$5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;$

El polinomio incompleto de grado 3, $5x^3+5x^2-60x\;$ , se puede descomponer de la siguiente manera:

$5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;$

(Observa que primero hemos sacado factor común $x\;$ y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Siempre que se pueda, sacaremos $x\;$ factor común.
Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz $x=a\;$ de un polinomio $P(x)\;$ , tendremos que $P(x)=(x-a)Q(x)\;$ , donde $Q(x)\;$ tiene un grado menos que $P(x)\;$ .

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.

Ejemplo: Factorización de polinomios

Factoriza el siguiente polinomio:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!$

Solución:

Primero sacamos factor común $3x^2\,\!$ :

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!$

Ahora aplicamos Ruffini. Los divisores de $70\,\!$ son $1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 5,\ -5,\ \mbox{etc.}\,\!$

Empezaremos probando con el $1\,\!$

   | 1  -1  -39  109  -70
   |                   
  1|     1    0  -39   70
 --|-------------------
   | 1   0  -39   70  |0
                      |____

Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, $x=1\;$ y uno de los factores $(x-1)\;$ .

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:

   | 1   0  -39   70
   |                   
  1|     1    1   38
 --|-----------------
   | 1   1   38 |108
                |____

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

   | 1   0  -39   70
   |                   
 -1|    -1    1   38
 --|-----------------
   | 1  -1  -38 |108
                |____

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

   | 1  0  -39   70
   |                   
  2|    2    4  -70
 --|---------------
   | 1  2  -35   |0
                 |____

Ya hemos encontrado otra raíz, $x=2\;$ , y el factor correspondiente, $(x-2)\;$ .

El polinomio quedará de la siguiente forma:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula de la ecuación de 2º grado:

$x^2+2x-35=0 \rightarrow x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 -4 \cdot (-35)}}{2}=\frac{-2 \pm 12}{2}=\begin{cases} x_1=-7 \\ x_2=5 \end{cases}$

Así, sus raíces son 5 y -7 y sus factores (x-5) y (x+7).

De esta manera:

$P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!$

$= 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70=\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x^3 -39x +70)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)\,\!$

$= 3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)\,\!$

Con lo que queda descompuesto el polinomio.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini===
 Para factorizar un polinomio mediante la regla de [[Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
+{{p}}
-<div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;">
+{{Ejemplo|titulo= Ejemplo: ''Factorización de polinomios''
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-<font color="MediumBlue">'''Ejemplo: Factorización de polinomios'''</font>
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 Factoriza el siguiente polinomio:
 ::<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!</math>
-<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
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-<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left">
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 Primero sacamos  factor común <math>3x^2\,\!</math>:
 :<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 = 3x^2 (x^4-x^3-39x^2+109x-70)\,\!</math>
 Empezaremos probando con el <math>1\,\!</math>
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1  -1  -39  109  -70
-|
+   |
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+|     1    0  -39   70
-|align="center" style="width:25px"| -1
+ --|-------------------
-|align="center" style="width:25px"| -39
+   | 1   0  -39   70  |0
-|align="center" style="width:25px"|109
+                      |____
-|align="center" style="width:25px"| -70
+</pre>
-|-
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|0
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-39
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|70
-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
-|align="center"|0
-|align="center"|-39
-|align="center"|70
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|0
-|}
-Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, x=1 y uno de los factores (x-1).
+Como el resto es cero, hemos encontrado una de las raíces, <math>x=1\;</math> y uno de los factores <math>(x-1)\;</math>.
 :<math>P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2 =\,\!</math>
 Seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz:
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1   0  -39   70
-|
+   |
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+|     1    1   38
-|align="center" style="width:25px"| 0
+ --|-----------------
-|align="center" style="width:25px"| -39
+   | 1   1   38 |108
-|align="center" style="width:25px"|70
+                |____
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+</pre>
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-38
-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
-|align="center"|1
-|align="center"|-38
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|32
-|}
 El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:
-:{|
-|- style="height:50px"
+<pre>
-|
+   | 1   0  -39   70
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+   |
-|align="center" style="width:25px"| 0
+ -1|    -1    1   38
-|align="center" style="width:25px"| -39
+ --|-----------------
-|align="center" style="width:25px"|70
+   | 1  -1  -38 |108
-|-
+                |____
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-1
+</pre>
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|-1
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|1
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-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
-|align="center"|-1
-|align="center"|-38
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|108
-|}
 El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:
-:{|
+<pre>
-|- style="height:50px"
+   | 1  0  -39   70
-|
+   |
-|align="center" style="width:25px; border-left:1px solid black"|1
+|    2    4  -70
-|align="center" style="width:25px"| 0
+ --|---------------
-|align="center" style="width:25px"| -39
+   | 1  2  -35   |0
-|align="center" style="width:25px"|70
+                 |____
-|-
+</pre>
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|2
-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|&nbsp;
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|2
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|4
-|align="center" style="border-bottom:1px solid black"|70
-|-
-|
-|align="center" style="border-left:1px solid black"|1
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-|align="center" style="border-left:1px solid black; border-bottom:1px solid black"|0
-|}
-Ya hemos encontrado otra raíz, x=2, y el factor correspondieente, (x-2).
+Ya hemos encontrado otra raíz, <math>x=2\;</math>, y el factor correspondiente, <math>(x-2)\;</math>.
 El polinomio quedará de la siguiente forma:
 Con lo que queda descompuesto el polinomio.
+}}
-</div>
-</div>
-</div>
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Teorema del resto

Raíces de un polinomio

Raíces enteras de un polinomio

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios de grado 2

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

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