Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 18:30 14 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 18:33 14 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Factorización de polinomios de grado 2)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 41: Línea 41:
{{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}} {{Caja_Amarilla|texto='''Factorizar''' un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.}}
===Factorización de polinomios de grado 2=== ===Factorización de polinomios de grado 2===
-{{Teorema|titulo=''Factorización de polinomios de segundo grado''+{{Factorización de polinomios de grado 2}}
-|enunciado= +
-Un polinomio de segundo grado, <math>kx^2+mx+n\;</math>, con raíces rales, <math>a\;</math> y <math>b\;</math>, se puede factorizar de la forma+
{{p}} {{p}}
-<center><math>k(x-a)(x-b)\;</math></center> 
-{{p}} 
-|demo= 
-}} 
-{{p}} 
-{{p}} 
-{{ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles'' 
-|enunciado= Factoriza los siguientes polinomios 
-::a) <math>5x^2+5x-60\;</math> 
-::b) <math>5x^3+5x^2-60x\;</math> 
-|sol= 
-*El polinomio <math>5x^2+5x-60\;</math> tiene dos raíces: <math>x_1=3,\ x_2=-4</math>, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado <math>5x^2+5x-60=0\;</math>. Entonces: 
-{{p}} 
-<center><math>5x^2+5x-60=5(x-3)(x+4)\;</math></center> 
-{{p}} 
-*El polinomio incompleto de grado 3, <math>5x^3+5x^2-60x\;</math>, se puede descomponer de la siguiente manera: 
-{{p}} 
-<center><math>5x^3+5x^2-60x=x(5x^2+5x-60)=5x(x-3)(x+4)\;</math></center> 
-{{p}} 
-:(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). 
-}}{{p}} 
===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===

Revisión de 18:33 14 ene 2009

Tabla de contenidos

Teorema del resto

ejercicio

Teorema del Resto


El valor que toma un polinomio, P(x)\;, cuando hacemos x=a\;, coincide con el resto de la división de P(x)\; entre (x-a)\;. Es decir, P(a)\,= r\,, donde r\, es el resto de dicha división.

ejercicio

Ejemplo: Teorema del Resto


Calcula el resto de dividir el polinomio x^3 - 3x^2 - 7\; entre (x-2)\;

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz de un polinomio P(x)\, si P(a)\, = 0\,. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Corolario al Teorema del Resto


Si x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\;, entonces (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio P(x)\,\! con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por (x-a)\,\!, pero ¿qué valor puede tomar a\,\!? El siguiente resultado nos da la respuesta:

ejercicio

Teorema


Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a)Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda