Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

Teorema del resto

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Teorema del Resto


El valor que toma un polinomio, P(x)\;, cuando hacemos x=a\;, coincide con el resto de la división de P(x)\; entre (x-a)\;. Es decir, P(a)\,= r\,, donde r\, es el resto de dicha división.

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Ejemplo: Teorema del Resto


Calcula el resto de dividir el polinomio x^3 - 3x^2 - 7\; entre (x-2)\;

Raíces de un polinomio

Un número a\, es una raíz o un cero de un polinomio P(x)\,, si P(a)\, = 0\,. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x)\,= 0\,.

ejercicio

Corolario al Teorema del Resto


Si x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\;, entonces (x-a)\; es un factor de dicho polinomio.

Raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio P(x)\,\! con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por (x-a)\,\!, pero ¿qué valor puede tomar a\,\!? El siguiente resultado nos da la respuesta:

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Teorema


Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

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Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

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Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

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Procedimiento para factorizar polinomios


  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini podremos buscar las raíces enteras o fraccionarias del polinomio. Así, si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a)\,Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;.

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

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Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



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Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

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