Funciones: Definición

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
-|ir=+|ir=
|ampliar= |ampliar=
-[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/solucionlibro/unidad10.pdf Ejercicios 1]<br>[http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/funciones/teoriainterpretaciondegraficas/teoriainterpretaciondegraficas.htm Ejercicios 2]+|repasar=
-|repasar=[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Coordenadas_cartesianas/index.htm Coordenadas]<br>[http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1067 Funciones (SM)]+|enlaces=
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29 Función]<br>[http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_funciones Lista de funciones]+
}} }}
{{p}} {{p}}
- +==Introducción==
-==Definición==+{{AI_cidead
-{{Caja_Amarilla|texto=Una '''función''' es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la '''variable independiente''' <math>x</math>, le asocia un único valor de la '''variable dependiente''' <math>y</math>, que llamaremos '''imagen''' de <math>x</math>. Decimos que <math>y</math> '''es función''' de <math>x</math> y lo representamos por +|titulo1=Para empezar
-<center><math>y = f(x)\;\!</math></center>+|descripcion=Actividad de introducción al tema de funciones.
-}}{{p}}+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena9/3quincena9_presenta_1a.htm
- +
-==Formas de expresar una función==+
-Hay varias formas de expresar una función:+
-* Mediante un enunciado.+
-* Mediante una expresión algebraica.+
-* Mediante una gráfica.+
-Veamos unos ejemplos en la siguiente actividad:+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Formas de expresar una función''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Un ejemplo en el que la variable independiente es discreta.+
-|actividad=+
-{{p}}+
-* '''Mediante un enunciado:'''+
-El precio de un bolígrafo en la papelería cercana es de 0,30 €. +
- +
-*''' Mediante una expresión algebraica:'''+
-Para calcular el precio de un número <math>x</math> de bolígrafos, multiplicaremos la variable independiente <math>x</math> por 0,30. El valor obtenido se le asigna a la variable dependiente <math>y</math>.+
- +
-<center><math>y=0,30 \cdot x</math></center>+
- +
-*''' Mediante una tabla:'''+
- +
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">bol&iacute;grafos</font></strong></p>+
- </td>+
- <td align="center" width="9%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>1</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>2</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>3</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>4</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>5</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>6</strong></td>+
- <td align="center" width="12%"><strong>7</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="-2">precio</font></strong></p>+
- </td>+
- <td width="9%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- <td width="12%">&nbsp;</td>+
- </tr>+
-</table>+
- +
-Esta tabla se llama tabla de valores.+
- +
-a) Calcula y escribe los valores que faltan en la tabla.+
- +
-*''' Mediante una gráfica:'''+
- +
-Para representar gráficamente una función utilizamos unos '''ejes cartesianos''' con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de '''abscisas''') representamos la variable independiente <math>x</math>, y sobre el eje vertical (eje de '''ordenadas''') la variable dependiente <math>y</math>. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x e y, que son sus coordenadas <math>(x,y)</math>, su abcisa y su ordenada.+
- +
-En la escena siguiente hemos dibujado unos ejes coordenados. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo. +
- +
-En la parte inferior de la escena asígnale a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observa su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto rojo. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_1.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-b) ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal? +
- +
-c) ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical? +
- +
-d) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos? ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €? +
- +
-e) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Un caso en el que la variable independiente es continua.+
-|actividad=+
-El siguiente ejemplo es muy similar al anterior. Queremos comprar patatas a 0,30 € el kilo. Podemos construir una tabla y una gráfica idénticas a las anteriores salvo que en el eje horizontal representamos los kilos de patatas. +
- +
-Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1,5 o 2,7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1,5 o 2,7 kilos de patatas). +
- +
-a) Calcula y anota los precios de las siguientes cantidades de patatas. Asígnale esos valores a la variable kilos de la escena siguiente. +
- +
-<table border="1" width="100%">+
- <tr>+
- <td width="19%"><p align="center"><strong><font size="-2">kilos de patatas</font></strong></p>+
- </td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>0</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>1</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>1,5</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>2</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>2,7</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>5</strong></td>+
- <td align="center" width="10%"><strong>5,7</strong></td>+
- <td align="center" width="11%"><strong>7</strong></td>+
- </tr>+
- <tr>+
- <td width="19%"><p align="center"><strong><font size="-2">precio</font></strong></p>+
- </td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="10%">&nbsp;</td>+
- <td width="11%">&nbsp;</td>+
- </tr>+
-</table>+
- +
-b) ¿Tiene sentido ahora unir los puntos rojos de la gráfica?+
- +
-Compuébalo en la escena asignándole a la variable kilos el valor 0 y a continuación, mantén pulsado el botón del ratón sobre la fecha superior de los kilos de patatas. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_2.html+
-width=560+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-En el primer caso, la gráfica estaba formada por puntos aislados. En este segundo caso, la gráfica es una curva (en este caso, una recta) continua. +
- +
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
-En la actividad anterior hemos podido ver que la variable independiente puede ser:+{{Definición de función}}
-*'''Discreta:''' Si los valores que toma van dando saltos. Su gráfica está formada por puntos separados. Por ejemplo, la variable "número de boligrafos que compramos en una papelería".+
-*'''Continua:''' Si los valores que toma no dan saltos. Su gráfica está formada por trazos. Por ejemplo, la variable "peso de una persona".{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Interpretación de gráficas''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.+
-|actividad=+
-Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos <math>x</math> (variable independiente) e <math>y</math> (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.+
-Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.+
- +
-a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.+
-Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/funcion_1.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/funcion_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=2. Función cuya gráfica es una recta. 
-|actividad= 
-La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Interpretacion_graficas/funciones_lineales_1.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Interpretacion_graficas/funciones_lineales_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
-Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella . 
- 
-Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc. 
- 
-Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.  
- 
-a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas. 
- 
-Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto. 
-  
-b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura? 
- 
-c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad? 
- 
-d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?  
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=3. Función cuya gráfica no es una recta. 
-|actividad= 
-En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.  
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Interpretacion_graficas/funciones_no_lineales_2.html 
-width=560 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Interpretacion_graficas/funciones_no_lineales_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
-a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena. 
- 
-b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas. 
- 
-c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos? 
- 
-d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?  
-  
-Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P. 
- 
-e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre. 
- 
-f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?  
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-==Ejercicios== 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicio: ''Funciones y gráficas'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''1. '''La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.<br> 
-[[Imagen:aguila.png|450px|center]]{{p}} 
-:a) ¿Cuáles son las variables relacionadas? 
-:b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje? 
-:c) ¿A qué altura se encuentra el nido? 
-:d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa? 
-:e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima? 
-:f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80? 
-{{p}} 
-|sol={{p}} 
-:a) La variable dependiente es la altura (en metros) y la variable independiente es el tiempo (en segundos). 
-:b) En el eje horizontal, cada cuadrito representa 10 s. En el vertical 10 m. 
-:c) El nido está situado a una altura de 70 m. 
-:d) El vuelo dura 3'20". Da caza a la presa 1'50" después de salir del nido. 
-:e) La altura máxima es 92 m., aproximadamente. La mínima 0 m. 
-:f) En ese intervalo la función es constante, lo que significa que el águila se mantiene volando a la misma altura. 
-}} 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''2. '''Poner una anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de 0.50 € y 0.05 € por cada palabra.<br> 
-:a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio". 
-:b) Representa gráficamente los resultados del apartado a). 
-:c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta? 
-:d) Encuentra una fórmula que exprese esta función. 
-{{p}} 
-|sol= 
-{{p}} 
-:a) Tabla de valores:{{p}} 
-<center> 
-<table border=1> 
- <tr> 
- <td>{{b}}x{{b}}</td> 
- <td>0</td> 
- <td>1</td> 
- <td>2</td> 
- <td>3</td> 
- <td>4</td> 
- <td>5</td> 
- <td>6</td> 
- </tr>  
- <tr> 
- <td>{{b}}y{{b}}</td>  
- <td>50</td> 
- <td>55</td> 
- <td>60</td> 
- <td>65</td> 
- <td>70</td> 
- <td>75</td> 
- <td>80</td>  
- </tr> 
-</table> 
-</center> 
-{{p}} 
-:b) Representación gráfica: 
-{{p}} 
-[[Imagen:palabras.png|center|250px]]<br> 
-:c) Discreta. 
-:d) <math>y=5x+50 \quad</math> (céntimos de €) 
-}} 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Funciones]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Concepto de función

  • Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, x\; e y\;) que a cada valor de x\; le asigna un único valor de y\;.
  • La variable x\; se llama variable independiente y la variable y\; se llama variable dependiente, porque su valor depende de x\;.
  • Se dice que y\; es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!. También se dice que y\; es la imagen de x\; mediante la función f\;.

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

  • Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
  • Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
  • Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
  • Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;, y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abcisa y su ordenada.

Funciones dadas mediante enunciados

Funciones dadas mediante expresiones analíticas

Funciones dadas mediante tablas

Representación de funciones mediante gráficas

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

ejercicio

Procedimiento


  • Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
    • Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;.
    • Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;.
  • Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abscisa y su ordenada.

Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Variables discretas y continuas

En una función, la variable independiente puede ser:

  • Continua: Si toma valores en intervalos. En consecuencia, siempre toma infinitos valores. La gráfica de la función estará formada por trazos.
  • Discreta: Si los valores que toma la variable están separados (no toma valores en ningún intervalo). Puede tomar un número finito o infinito de valores. La gráfica de la función estará formada por puntos separados.

Expresión analítica de una función

La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente.

ejercicio

Ejemplo: Expresión analítica de una función 


Un rectángulo mide 2 cm más de largo que de ancho.

  1. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su área con su lado menor. Halla su dominio.
  2. Halla la expresión analítica de la función que relaciona su perímetro con su lado menor. Halla su dominio.
  3. Haz una tabla de valores para cada función.
  4. Representa gráficamente las dos funciones anteriores.

Dominio de una función dada por una expresión analítica

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

ejercicio

Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica


Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)

Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas


La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

ejercicio

Ejercicio resuelto: Variables discretas y continuas


Poner una anuncio por palabras cuesta una cantidad fija de 0.50 €, más 0.05 € por cada palabra.

a) Haz una tabla de la función "número de palabras-precio".
b) Representa gráficamente los resultados del apartado anterior.
c) ¿Cómo es la variable independiente: continua o discreta?
d) Encuentra su expresión analítica.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Dominio e imagen


1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)Imagen:funcion1a.pngb)Imagen:funcion1b.pngc)Imagen:funcion1c.png

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda