Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)

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(Función tangente)
Línea 7: Línea 7:
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==Funciones trigonométricas== ==Funciones trigonométricas==
-Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo '''x''' al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.+{{Funciones trigonométricas}}
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-|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.+
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-|sinopsis=Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.+
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===Función seno=== ===Función seno===
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función seno''' (sinusoide).{{p}}[[Imagen:funcionseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+{{Función seno}}
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 +===Función tangente===
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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función seno|enunciado=+ 
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+==Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas==
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+{{Videotutoriales|titulo=Línea media, amplitud y período de funciones trigonométricas|enunciado=
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+{{Video_enlace_khan
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-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bNXRwZTyuQ8
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+|sinopsis=Línea media, amplitud y periodicidad de las funciones sinusoidales.
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en <math>\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en <math>\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
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 +{{Video_enlace
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-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función seno.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PIFBQhc0ebQ
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 +|titulo1=Período de la función coseno
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 +|sinopsis=Período de la función coseno.
 +}}
 +----
{{Video_enlace_khan {{Video_enlace_khan
-|titulo1=Tutorial 3+|titulo1=Ejercicio
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-|sinopsis=Dominio, rango y representación de la función seno.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=SUr_w7xuVXI
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 +{{Actividades|titulo=Línea media y amplitud de funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Actividad
 +|descripcion=Repaso sobre línea media, amplitud y periodo de funciones sinusoidales.
-===Función coseno===+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/period-of-sinusoids/a/midline-amplitude-and-period-review
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función coseno''' (cosinusoide).{{p}}[[Imagen:funcioncoseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+}}
-|celda1=+{{AI_Khan
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=La línea media de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.
-<center><math>f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}</math></center> +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/intro-to-amplitude-and-midline-of-sinusoids/e/midline-of-trig-functions
}} }}
-{{p}}+{{AI_Khan
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función coseno|enunciado=+|titulo1=Autoevaluación 2
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+|descripcion=La amplitud de funciones sinusoidales a partir de sus gráficas.
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+ 
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/intro-to-amplitude-and-midline-of-sinusoids/e/amplitude-of-trig-functions
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio, <math>\mathbb{R}</math>.+
-*'''Simetrías:''' Es par, pués <math>cos(-x)=cos(x)\,</math>+
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en <math>\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en <math>\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
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-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función tangente'''.{{p}}[[Imagen:funciontg.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+}}
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-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+{{p}}
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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función tangente|enunciado=+ 
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+==Transformaciones de funciones trigonométricas==
-*'''Recorrido:''' <math>\mathbb{R}</math>+Para este apartado necesitarás ver primero: [[Transformaciones elementales de funciones (1ºBach)|Transformaciones elementales de funciones]].
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>\pi \,</math>.+{{p}}
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en <math>\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+{{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de funciones trigonométricas|enunciado=
-*'''Simetrías:''' Es impar, pués <math>tg(-x)=-tg(x)\,</math>+'''Traslaciones:'''
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+ 
-*'''Máximos:''' No tiene+{{Traslaciones de funciones trigonometricas}}
-*'''Mínimos:''' No tiene+ 
-*'''Crecimiento:''' Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.+----
 +'''Dilataciones y contracciones:'''
 + 
 +{{Dilataciones y contracciones funciones trigonometricas}}
 + 
 +----
 +'''Ejercicios:'''
 + 
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
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 +|sinopsis=Representa la función: <math>y=2\,sen(-x)\;</math> en el intervalo <math>\left[ -2\pi, 2\pi \right]</math>.
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 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=10'44"
 +|sinopsis=Representa la función: <math>y=-2.5\,cos(\cfrac{1}{3}\,x)\;</math> en el intervalo <math>\left[ 0, 6\pi \right]</math>.
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 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Transformaciones de funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva.
 + 
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/graphing-sinusoids/e/graphs_of_sine_and_cosine
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Grafica funciones sinusoidales en la cuadrícula interactiva (desplazamiento de fase).
 + 
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/graphing-sinusoids/e/graphs-of-trigonometric-functions
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=La función tangente|enunciado=+{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/fn_trig_trans.html {{b}}Transformaciones de funciones trigonométricas]
-{{Video_enlace_matemovil+ 
-|titulo1=Tutorial 1+
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-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función tangente. Ejercicios.+
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}} }}
 +
 +==Modelando con funciones trigonométricas==
 +En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Modelando con funciones trigonométricas|enunciado=
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-|titulo1=Tutorial 2+|titulo1=Ejercicio 1
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-|sinopsis=Representación de la función tangente+|sinopsis=Escribe la ecuación de la función trigonométrica dada en el video.
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}} }}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=10'56"
 +|sinopsis=En Johannesburgo, en junio, la temperatura mínima diaria usual es aproximadamente de 3ºC, y la temperatura máxima diaria alrededor de 18ºC. La temperatura se ubica justo a la mitad entre la máxima y la mínima diaria, tanto a las 10 a.m. como a las 10 p.m., alcanzándose la temperatura máxima por la tarde. Encuentra una función trigonométrica que modele la temperatura ''T'' en Johannesburgo a las ''t'' horas después de media noche.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=dDo4YNCzMjo
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 3a
 +|duracion=7'10"
 +|sinopsis=El día más caluroso del año, en promedio, en Santiago de Chile, es el 7 de enero cuando la media de la temperatura máxima es de 29ºC. El día más frio del año tiene una temperatura máxima media de 14ºC.
-==Características de las funciones sinusoidales==+Usa una función trigonométrica para modelar la temperatura en Santiago de Chile, usando 365 días como la duración de un año y partiendo del 7 de enero. Recuerda que el 7 de enero es verano en Santiago.
 + 
 +¿Cuántos días después del 7 de enero es el primer día de primavera cuando la temperatura máxima alcanza 20ºC?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2mL7FZUOoDU
 +}}
{{Video_enlace_khan {{Video_enlace_khan
-|titulo1=Características de las funciones sinusoidales+|titulo1=Ejercicio 3b
-|duracion=5'26"+|duracion=8'23"
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bNXRwZTyuQ8+|sinopsis=Continuación del ejercicio anterior:
-|sinopsis=Línea media, amplitud y periodicidad de las funciones sinusoidales.+ 
 +El día más caluroso del año, en promedio, en Santiago de Chile, es el 7 de enero cuando la media de la temperatura máxima es de 29ºC. El día más frio del año tiene una temperatura máxima media de 14ºC.
 + 
 +Usa una función trigonométrica para modelar la temperatura en Santiago de Chile, usando 365 días como la duración de un año y partiendo del 7 de enero. Recuerda que el 7 de enero es verano en Santiago.
 + 
 +¿Cuántos días después del 7 de enero la temperatura máxima alcanza 20ºC (primer día de primavera)?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JFzvoWVc9ew
 +}}
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=7'44"
 +|sinopsis=Modelar funciones sinusoidales con desplazamiento de fase:
 + 
 +El día más largo del año en Juneau, Alaska, es el 21 de junio, el cual dura 1096.5 minutos. Medio año después, cuando los días son más cortos, éstos duran alrededor de 382.5 minutos.
 + 
 +Sabiendo que no es un año bisiesto y el día 21 de junio es el día 172 del año, encuentra la función trigonométrica que modele la duración ''L'' del día ''t'' del año.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=cmZ_mSTIKpY
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Modelando con funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +|descripcion=Escribe la ecuación de la función trigonométrica correspondiente a unos datos dados.
 + 
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/construct-sinusoidal-functions
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales.
 + 
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions
 +}}
 +{{AI_Khan
 +|titulo1=Autoevaluación 3
 +|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales con desplazamiento de fase.
 + 
 +|url1=https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions-2
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
-===Periodicidad de las funciones trigonométricas===+{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con funciones trigonométricas]
-{{Video_enlace+
-|titulo1=Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas+
-|duracion=14'00"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=5nEUzbQZtBs+
-|sinopsis=Estudio de la periodicidad de las funciones trigonométricas directas e inversas.+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_period/fn_trig_period.html Periodo de las funciones trigonométricas] 
-}}+==Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco==
 +*Véase: [[Funciones arco (1ºBach)|Funciones arco]].
{{p}} {{p}}
Línea 194: Línea 271:
*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html Funciones trigonométricas 1] *[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/unit_circle/unit_circle.html Funciones trigonométricas 1]
*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig/fn_trig.html Funciones trigonométricas 2] *[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig/fn_trig.html Funciones trigonométricas 2]
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/fn_trig_trans.html Transformaciones de funciones trigonométricas] 
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con funciones trigonométricas] 
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Función seno

Se define la función seno como

f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función seno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es impar, pués sen(-x)=-sen(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función seno (sinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función coseno

Se define la función coseno como

f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función coseno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es par, pués cos(-x)=cos(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función coseno (cosinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función tangente

Se define la función coseno como

f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}

ejercicio

Propiedades de la función tangente


  • Dominio: \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Recorrido: \mathbb{R}
  • Periodicidad: Es periódica, con período \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en \left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Simetrías: Es impar, pués tg(-x)=-tg(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: No tiene
  • Mínimos: No tiene
  • Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.
Función tangente.


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas



Transformaciones de funciones trigonométricas

Para este apartado necesitarás ver primero: Transformaciones elementales de funciones.



Modelando con funciones trigonométricas

En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.



Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco

Actividades y videotutoriales



Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda