Funciones trigonométricas o circulares (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 07:59 18 dic 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Modelando con funciones trigonométricas)
← Ir a diferencia anterior
Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Función tangente)
Línea 7: Línea 7:
{{p}} {{p}}
==Funciones trigonométricas== ==Funciones trigonométricas==
-Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo '''x''' al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.+{{Funciones trigonométricas}}
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás ver como se representan las funciones trigonométricas.+
-|enlace=[http://ggbm.at/UHsRFWbu Funciones trigonométricas]+
-}}+
-{{p}}+
-{{Video_enlace_fonemato+
-|titulo1=Gráficas de las funciones seno y coseno+
-|duracion=9'04"+
-|sinopsis=Estudio gráfico de las funciones seno y coseno.+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/20-graficas-de-las-funciones-seno-y-coseno-5#.VCrSixa7ZV8+
-}}+
===Función seno=== ===Función seno===
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función seno''' (sinusoide).{{p}}[[Imagen:funcionseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+{{Función seno}}
-|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''seno''' como+
- +
-<center><math>f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}</math></center> +
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función seno|enunciado=+
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio, <math>\mathbb{R}</math>.+
-*'''Simetrías:''' Es impar, pués <math>sen(-x)=-sen(x)\,</math>+
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en los intervalos <math>\big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en los intervalos <math>\big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-}}+
-}}+
-{{Videotutoriales|titulo=La función seno|enunciado=+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Tutorial 1+
-|duracion=23'02"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función seno.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PpT9jA8AOUY+
-}}+
-{{Video_enlace_matemovil+
-|titulo1=Tutorial 2+
-|duracion=27'53"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función seno. Ejercicios.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JwGW8YyNp4M&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=57+
-}}+
-{{Video_enlace_khan+
-|titulo1=Tutorial 3+
-|duracion=9'23"+
-|sinopsis=Dominio, rango y representación de la función seno.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=wnokkV3NqSU+
-}}+
-}}+
===Función coseno=== ===Función coseno===
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función coseno''' (cosinusoide).{{p}}[[Imagen:funcioncoseno.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+{{Función coseno}}
-|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+
- +
-<center><math>f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}</math></center> +
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función coseno|enunciado=+
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}</math>+
-*'''Recorrido:''' <math>[-1, 1]\,</math>+
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>2 \pi \,</math>.+
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio, <math>\mathbb{R}</math>.+
-*'''Simetrías:''' Es par, pués <math>cos(-x)=cos(x)\,</math>+
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' <math>\left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Mínimos:''' <math>\left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Crecimiento:'''+
-**Crece en los intervalos <math>\big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-**Decrece en los intervalos <math>\big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}</math>.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=La función coseno|enunciado=+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Tutorial 1+
-|duracion=26'21"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función coseno.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8z0M2hnCJIY+
-}}{{Video_enlace_matemovil+
-|titulo1=Tutorial 2+
-|duracion=30'13"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función coseno. Ejercicios.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Dgpsd_CwZfs&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=58+
-}}+
-}}+
===Función tangente=== ===Función tangente===
-{{Tabla50|celda2=<center>'''Función tangente'''.{{p}}[[Imagen:funciontg.png|380px|]]<br>Los valores en el eje x están expresados en radianes</center>+{{Función tangente}}
-|celda1=+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se define la función '''coseno''' como+
- +
-<center><math>f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math></center> +
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades de la función tangente|enunciado=+
-*'''Dominio:''' <math>\mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Recorrido:''' <math>\mathbb{R}</math>+
-*'''Periodicidad:''' Es periódica, con período <math>\pi \,</math>.+
-*'''Continuidad:''' Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en <math>\left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Simetrías:''' Es impar, pués <math>tg(-x)=-tg(x)\,</math>+
-*'''Cortes con eje X:''' <math>\left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}</math>+
-*'''Máximos:''' No tiene+
-*'''Mínimos:''' No tiene+
-*'''Crecimiento:''' Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=La función tangente|enunciado=+
-{{Video_enlace_matemovil+
-|titulo1=Tutorial 1+
-|duracion=26'00"+
-|sinopsis=Definición, representación y análisis de la función tangente. Ejercicios.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=-hISqPei4G4&list=PL3KGq8pH1bFTdb47fYhuokXPlQKsEeT33&index=59+
-}}+
-{{Video_enlace_khan+
-|titulo1=Tutorial 2+
-|duracion=10'13"+
-|sinopsis=Representación de la función tangente+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lg6xE2_hQW4+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
Línea 230: Línea 111:
==Transformaciones de funciones trigonométricas== ==Transformaciones de funciones trigonométricas==
-{{Videotutoriales|titulo=Traslaciones|enunciado=+Para este apartado necesitarás ver primero: [[Transformaciones elementales de funciones (1ºBach)|Transformaciones elementales de funciones]].
-{{Video_enlace_abel+{{p}}
-|titulo1=Translación vertical de una función seno+{{Videotutoriales|titulo=Transformaciones de funciones trigonométricas|enunciado=
-|duracion=15'39"+'''Traslaciones:'''
-|sinopsis=Representa la función: <math>f(x)=2+sen(x)\;</math>.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=XKIWDDJAXog+
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Translación vertical de una función coseno+
-|duracion=14'01"+
-|sinopsis=Representa la función: <math>f(x)=1+cos(x)\;</math>.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=r1m_trSRtE4+
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Traslación horizontal de una función coseno+
-|duracion=16'45"+
-|sinopsis=Representa la función: <math>f(x)=cos(2x+ \cfrac{\pi}{2})</math>.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=C0u1ajYa6Ks+
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Traslación horizontal de una función seno+
-|duracion=19'09"+
-|sinopsis=Representa la función: <math>f(x)=sen(2x+ \cfrac{\pi}{2})</math>.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=CTRR0d56ePo+
-}}+
-}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Dilataciones y contracciones|enunciado=+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Dilataciones y contracciones horizontales de una función coseno+
-|duracion=35'01"+
-|sinopsis=Representa las funciones:+
-1) <math>f(x)=cos(2x)\;</math>+{{Traslaciones de funciones trigonometricas}}
-2) <math>f(x)=cos(\cfrac{x}{2})\;</math>+----
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4PDsxOGHwcU+'''Dilataciones y contracciones:'''
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Dilataciones y contracciones verticales de una función coseno+
-|duracion=34'39"+
-|sinopsis=Representa las funciones:+
-1) <math>f(x)=2\,cos(x)\;</math>+{{Dilataciones y contracciones funciones trigonometricas}}
-2) <math>f(x)=\cfrac{1}{2}\,cos(x)\;</math>+----
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=8tVsTo2vrYk+'''Ejercicios:'''
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Dilataciones y contracciones de una función seno+
-|duracion=40'12"+
-|sinopsis=Representa las funciones:+
-1) <math>f(x)=2\,sen(x)\;</math> 
- 
-2) <math>f(x)=sen(2x)\;</math> 
- 
-2) <math>f(x)=3\,sen(\cfrac{x}{2})\;</math> 
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=PIFBQhc0ebQ 
-}} 
-}} 
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios|enunciado= 
{{Video_enlace_khan {{Video_enlace_khan
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 319: Línea 154:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Info|texto=Más información en:+{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/fn_trig_trans.html {{b}}Transformaciones de funciones trigonométricas]
-*[[Transformaciones elementales de funciones (1ºBach)|Transformaciones elementales de funciones]]+
-*[http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/fn_trig_trans.html {{b}}Transformaciones de funciones trigonométricas]+
}} }}
Línea 366: Línea 199:
|titulo1=Ejercicio 4 |titulo1=Ejercicio 4
|duracion=7'44" |duracion=7'44"
-|sinopsis=El día más largo del año en Juneau, Alaska, es el 21 de junio, el cual dura 1096.5 minutos. Medio año después, cuando los días son más cortos, éstos duran alrededor de 382.5 minutos.+|sinopsis=Modelar funciones sinusoidales con desplazamiento de fase:
 + 
 +El día más largo del año en Juneau, Alaska, es el 21 de junio, el cual dura 1096.5 minutos. Medio año después, cuando los días son más cortos, éstos duran alrededor de 382.5 minutos.
Sabiendo que no es un año bisiesto y el día 21 de junio es el día 172 del año, encuentra la función trigonométrica que modele la duración ''L'' del día ''t'' del año. Sabiendo que no es un año bisiesto y el día 21 de junio es el día 172 del año, encuentra la función trigonométrica que modele la duración ''L'' del día ''t'' del año.
Línea 387: Línea 222:
{{AI_Khan {{AI_Khan
|titulo1=Autoevaluación 3 |titulo1=Autoevaluación 3
-|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales: desplazamiento de fase.+|descripcion=Modelar con funciones sinusoidales con desplazamiento de fase.
|url1=https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions-2 |url1=https://es.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-function-graphs/constructing-sinusoids/e/modeling-with-periodic-functions-2
Línea 395: Línea 230:
{{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con funciones trigonométricas] {{Info|texto=Más información en: [http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_mod/fn_trig_mod.html Modelando con funciones trigonométricas]
}} }}
 +{{p}}
 +
 +==Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco==
 +*Véase: [[Funciones arco (1ºBach)|Funciones arco]].
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Funciones trigonométricas

Vamos a estudiar las funciones que se obtienen a partir de las razones trigonométricas de un ángulo x al hacer variar éste. Dicho ángulo se suele expresar en radianes.

Función seno

Se define la función seno como

f(x)=sen(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función seno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es impar, pués sen(-x)=-sen(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=0+ \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=\pi / 2+2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=3 \pi /2 +2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( 3 \pi / 2+2 \pi (k-1) , \, \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( \pi / 2+2 \pi k , \, 3 \pi /2 +2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función seno (sinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función coseno

Se define la función coseno como

f(x)=cos(x) \, , \ x \in \mathbb{R}

ejercicio

Propiedades de la función coseno


  • Dominio: \mathbb{R}
  • Recorrido: [-1, 1]\,
  • Periodicidad: Es periódica, con período 2 \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio, \mathbb{R}.
  • Simetrías: Es par, pués cos(-x)=cos(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=\pi /2 + \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: \left \{ x=2 \pi k \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Mínimos: \left \{ x=\pi (2k+1) \, , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Crecimiento:
    • Crece en los intervalos \big( \pi (2k-1) , \, 2 \pi k \big), \ k \in \mathbb{Z}.
    • Decrece en los intervalos \big( 2 \pi k , \, \pi (2k+1) \big), \ k \in \mathbb{Z}.
Función coseno (cosinusoide).


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Función tangente

Se define la función coseno como

f(x)=tg(x) \, , \quad x \in \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}

ejercicio

Propiedades de la función tangente


  • Dominio: \mathbb{R}-\left \{ \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Recorrido: \mathbb{R}
  • Periodicidad: Es periódica, con período \pi \,.
  • Continuidad: Es continua en su dominio. Tiene discontinuidades en \left \{ x=\pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}
  • Simetrías: Es impar, pués tg(-x)=-tg(x)\,
  • Cortes con eje X: \left \{ x=k \pi , \ k \in \mathbb{Z} \right \}
  • Máximos: No tiene
  • Mínimos: No tiene
  • Crecimiento: Creciente en cada intervalo que compone sus dominio.
Función tangente.


Los valores en el eje x están expresados en radianes

Línea media, amplitud y período de las funciones trigonométricas



Transformaciones de funciones trigonométricas

Para este apartado necesitarás ver primero: Transformaciones elementales de funciones.



Modelando con funciones trigonométricas

En este apartado vamos a ver cómo se obtiene la expresión analítica de una función trigonométrica que nos permita representar una determinada situación, partiendo de cierta información verbal o gráfica.



Funciones trigonométricas recíprocas o funciones arco

Actividades y videotutoriales



Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda