Inecuaciones con una incógnita (1ºBS)

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Tabla de contenidos

1 Inecuaciones con una incógnita
- 1.1 Transformaciones que mantienen la equivalencia de las inecuaciones
- 1.2 Resolución de inecuaciones con una incógnita
2 Inecuaciones lineales con una incógnita
- 2.1 Método algebraico de resolución
- 2.2 Método gráfico de resolución
3 Sistema de inecuaciones con una incógnita
- 3.1 Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita
4 Inecuaciones cuadráticas con una incógnita
- 4.1 Método gráfico de resolución

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Inecuaciones con una incógnita

Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones algebraicas con una sola variable. Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: $<\;$ (menor que); $>\;$ (mayor que); $\le\;$ (menor o igual que) y $\ge\;$ (mayor o igual que).

Una solución de una inecuación con una incógnita, $x\;$ , es un valor de la variable $x\;$ que hace que se cumpla la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

Ejemplos:

Son inecuaciones con una incógnita:

$5x+3<1\;$

$x^2+3x-1 \le 1\;$

$\sqrt{x+3}>3\;$

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Transformaciones que mantienen la equivalencia de las inecuaciones

Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la desigualdad. (Así, lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y viceversa.)
Multiplicar o dividir los dos miembros de la desigualdad por un mismo número mayor que cero. (Así, lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa.)
Al multiplicar o dividir por un número negativo los dos miembros de la desigualdad, ésta cambia de sentido, es decir, pasa de ser ( $>\;$ ó $\ge$ ) a ( $<\;$ ó $\le$ ), o viceversa.

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Resolución de inecuaciones con una incógnita

Para resolver las inecuacines con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

El método algebraico que consiste en despejar la incógnita mediante las transformaciones antes mencionadas.
El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica adecuada. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo.

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Inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación lineal con una incógnita es una inecuación que puede ponerse de alguna de estas formas:

$ax+b<0 \ , \quad ax+b \le 0 \ , \quad ax+b>0 \ , \quad ax+b \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

Ejemplos:

Son inecuaciones lineales con una incógnita:

$5x+3<1\;$

$2x-1 \ge 2-x\;$

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Método algebraico de resolución

El método algebraico aplica las anteriores transformaciones para conseguir dejar despejada la incógnita.

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve la siguiente inecuación:

$-3x+2<5\;$

Solución:

$-3x+2<5 \ \rightarrow \ -3x<5-2 \ \rightarrow \ -3x<3 \ \rightarrow \ x>\cfrac{~3}{-3} \ \rightarrow \ x>-1$

Solución: $x \in (-1,+ \infty)$

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Método gráfico de resolución

El método gráfico requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual puede conseguirse mediante las transformaciones antes mencionadas.

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve la siguiente inecuación por el método gráfico:

$2x-3 \le 0 \;$

Solución:

Representamos la recta $y=2x-3\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa) o vale cero.

Solución: $x \in (- \infty, 1.5])$

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Sistema de inecuaciones con una incógnita

Un sistema de inecuaciones con una incógnita es una agrupación de dos o más inecuaciones con una incógnita.
Una solución de un sistema de inecuaciones con una incógnita $x\;$ , es un valor de la variable $x\;$ que hace que se cumplan todas las desigualdades del sistema.
Resolver un sistema de inecuaciones consiste en hallar todas sus soluciones. Las soluciones pueden ser infinitas y formar un intervalo de la recta real, o pueden ser finitas o incluso no existir.

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Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}$

Solución:

Resolvemos cada inecuación por separado:

$2x-6 < 0 \ \rightarrow \ 2x<6 \ \rightarrow \ x<3 \ \rightarrow \ x \in (- \infty, 3)$

$x+2 \ge 0 \ \rightarrow \ x \ge -2 \ \rightarrow \ x \in [-2, +\infty)$

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas inecuaciones: $x \in [-2, +\infty) \cap (- \infty, 3) \ \rightarrow \ x \in [-2,3)$